scipy.sparse.linalg.

eigs#

scipy.sparse.linalg.eigs(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, OPpart=None)[源代码]#

查找方阵 A 的 k 个特征值和特征向量。

解 A @ x[i] = w[i] * x[i]，w[i] 特征值对应的特征向量 x[i] 的标准特征值问题。

如果指定 M，则解 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i]，w[i] 特征值对应的特征向量 x[i] 的广义特征值问题

参数：

Andarray、稀疏矩阵或 LinearOperator

一个数组、稀疏矩阵或 LinearOperator，表示操作 A @ x，其中 A 是实数或复数方阵。

kint，可选

所需的特征值和特征向量的数量。k 必须小于 N-1。无法计算矩阵的所有特征向量。

Mndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

一个数组、稀疏矩阵或 LinearOperator，表示广义特征值问题中的操作 M@x

A @ x = w * M @ x.

如果 A 是实数，则 M 必须表示实对称矩阵；如果 A 是复数，则必须表示复埃尔米特矩阵。为获得最佳结果，M 的数据类型应与 A 的数据类型相同。此外

如果 sigma 为 None，则 M 是正定的

如果指定了 sigma，则 M 是半正定的

如果 sigma 为 None，则 eigs 需要一个算子来计算线性方程 M @ x = b 的解。对于显式矩阵 M，这会在内部通过（稀疏）LU 分解完成；对于一般的线性算子，则通过迭代求解器完成。或者，用户可以提供矩阵或算子 Minv，它给出 x = Minv @ b = M^-1 @ b。

sigma实数或复数，可选

使用移位-反转模式查找 sigma 附近的特征值。这需要一个算子来计算线性系统 [A - sigma * M] @ x = b 的解，其中如果未指定，则 M 为单位矩阵。对于显式矩阵 A & M，这会在内部通过（稀疏）LU 分解计算；如果 A 或 M 是通用线性算子，则通过迭代求解器计算。或者，用户可以提供矩阵或算子 OPinv，它给出 x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b。对于实矩阵 A，移位-反转可以在虚数模式或实数模式下完成，由参数 OPpart（‘r’ 或 ‘i’）指定。请注意，当指定 sigma 时，关键字 ‘which’（如下）指的是移位的特征值 w'[i]，其中

如果 A 是实数且 OPpart == ‘r’（默认），则
w'[i] = 1/2 * [1/(w[i]-sigma) + 1/(w[i]-conj(sigma))].

如果 A 是实数且 OPpart == ‘i’，则
w'[i] = 1/2i * [1/(w[i]-sigma) - 1/(w[i]-conj(sigma))].

如果 A 是复数，则 w'[i] = 1/(w[i]-sigma)。

v0ndarray，可选

迭代的起始向量。默认值：随机

ncvint，可选

生成的 Lanczos 向量的数量 ncv 必须大于 k；建议 ncv > 2*k。默认值：min(n, max(2*k + 1, 20))

whichstr, [‘LM’ | ‘SM’ | ‘LR’ | ‘SR’ | ‘LI’ | ‘SI’]，可选

要查找的 k 个特征向量和特征值

‘LM’：最大幅度

‘SM’：最小幅度

‘LR’：最大实部

‘SR’：最小实部

‘LI’：最大虚部

‘SI’：最小虚部

当 sigma != None 时，‘which’ 指的是移位的特征值 w’[i]（参见上面的 ‘sigma’ 中的讨论）。ARPACK 通常更擅长查找大值而不是小值。如果需要小特征值，请考虑使用移位-反转模式以获得更好的性能。

maxiterint，可选

允许的最大 Arnoldi 更新迭代次数。默认值：n*10

tolfloat，可选

特征值的相对精度（停止准则）。默认值 0 表示机器精度。

return_eigenvectorsbool，可选

除了特征值外，还返回特征向量 (True)

Minvndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

请参见上面 M 中的注释。

OPinvndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

请参见上面 sigma 中的注释。

OPpart{‘r’ 或 ‘i’}，可选

请参见上面 sigma 中的注释

返回：

wndarray: k 个特征值的数组。
vndarray: 一个包含 k 个特征向量的数组。v[:, i] 是与特征值 w[i] 相对应的特征向量。

引发：

ArpackNoConvergence: 当未获得请求的收敛时。当前收敛的特征值和特征向量可以作为异常对象的 eigenvalues 和 eigenvectors 属性找到。

另请参阅

eigsh: 对称矩阵 A 的特征值和特征向量
svds: 矩阵 A 的奇异值分解

注释

此函数是 ARPACK [1] SNEUPD、DNEUPD、CNEUPD、ZNEUPD 函数的包装器，这些函数使用隐式重启的 Arnoldi 方法查找特征值和特征向量 [2]。

参考文献

[1]

ARPACK 软件，opencollab/arpack-ng

[2]

R. B. Lehoucq、D. C. Sorensen 和 C. Yang，《ARPACK 用户指南：通过隐式重启 Arnoldi 方法解决大规模特征值问题》。SIAM，费城，宾夕法尼亚州，1998 年。

示例

查找单位矩阵的 6 个特征向量

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import eigs
>>> id = np.eye(13)
>>> vals, vecs = eigs(id, k=6)
>>> vals
array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])
>>> vecs.shape
(13, 6)