scipy.sparse.linalg.

eigs#

scipy.sparse.linalg.eigs(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, OPpart=None)[source]#

找到方阵 A 的 k 个特征值和特征向量。

求解 A @ x[i] = w[i] * x[i]，即 w[i] 特征值及其对应的 x[i] 特征向量的标准特征值问题。

如果指定了 M，则求解 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i]，即 w[i] 特征值及其对应的 x[i] 特征向量的广义特征值问题。

参数：

Andarray、稀疏矩阵或 LinearOperator

表示运算 A @ x 的数组、稀疏矩阵或 LinearOperator，其中 A 是实数或复数方阵。

kint，可选

所需的特征值和特征向量的数量。k 必须小于 N-1。无法计算矩阵的所有特征向量。

Mndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

表示广义特征值问题 M@x 运算的数组、稀疏矩阵或 LinearOperator

A @ x = w * M @ x。

如果 A 是实数矩阵，M 必须表示一个实对称矩阵；如果 A 是复数矩阵，M 必须表示一个复共轭转置矩阵。为了获得最佳结果，M 的数据类型应与 A 的数据类型相同。此外，

如果 sigma 为 None，则 M 为正定矩阵

如果指定了 sigma，则 M 为半正定矩阵

如果 sigma 为 None，eigs 需要一个运算符来计算线性方程 M @ x = b 的解。这在内部通过对显式矩阵 M 进行（稀疏）LU 分解，或者通过迭代求解器对通用线性运算符进行。另外，用户可以提供矩阵或运算符 Minv，其给出 x = Minv @ b = M^-1 @ b。

sigma实数或复数，可选

使用移位-反转模式查找接近 sigma 的特征值。这需要一个运算符来计算线性系统 [A - sigma * M] @ x = b 的解，其中如果未指定 M，则 M 为单位矩阵。这在内部通过对显式矩阵 A 和 M 进行（稀疏）LU 分解来计算，或者如果 A 或 M 是通用线性运算符，则通过迭代求解器来计算。另外，用户可以提供矩阵或运算符 OPinv，其给出 x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b。对于实数矩阵 A，移位-反转可以在虚数模式或实数模式下进行，由参数 OPpart（'r' 或 'i'）指定。请注意，当指定 sigma 时，关键字“which”（如下）指的是移位后的特征值 w'[i]，其中

如果 A 是实数且 OPpart == 'r'（默认值），
w'[i] = 1/2 * [1/(w[i]-sigma) + 1/(w[i]-conj(sigma))].

如果 A 是实数且 OPpart == 'i'，
w'[i] = 1/2i * [1/(w[i]-sigma) - 1/(w[i]-conj(sigma))].

如果 A 是复数，w'[i] = 1/(w[i]-sigma)。

v0ndarray，可选

迭代的起始向量。默认值：随机

ncvint，可选

生成的 Lanczos 向量的数量。ncv 必须大于 k；建议 ncv > 2*k。默认值：min(n, max(2*k + 1, 20))

whichstr, ['LM' | 'SM' | 'LR' | 'SR' | 'LI' | 'SI']，可选

要查找的 k 个特征向量和特征值

'LM' : 最大模

'SM' : 最小模

'LR' : 最大实部

'SR' : 最小实部

'LI' : 最大虚部

'SI' : 最小虚部

当 sigma != None 时，'which' 指的是移位后的特征值 w'[i]（参见上文“sigma”中的讨论）。ARPACK 在寻找大值方面通常优于寻找小值。如果需要小特征值，请考虑使用移位-反转模式以获得更好的性能。

maxiterint，可选

允许的 Arnoldi 更新迭代的最大次数。默认值：n*10

tolfloat，可选

特征值的相对精度（停止准则）。默认值 0 表示机器精度。

return_eigenvectorsbool，可选

除特征值外，还返回特征向量 (True)

Minvndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

参见上面 M 中的说明。

OPinvndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

参见上面 sigma 中的说明。

OPpart{'r' 或 'i'}，可选

参见上面 sigma 中的说明。

返回值：

wndarray: k 个特征值的数组。
vndarray: k 个特征向量的数组。v[:, i] 是对应于特征值 w[i] 的特征向量。

抛出：

ArpackNoConvergence: 当未达到请求的收敛时。当前已收敛的特征值和特征向量可以作为异常对象的 eigenvalues 和 eigenvectors 属性找到。

另请参阅

eigsh: 对称矩阵 A 的特征值和特征向量
svds: 矩阵 A 的奇异值分解

备注

此函数是 ARPACK [1] SNEUPD、DNEUPD、CNEUPD、ZNEUPD 函数的包装器，这些函数使用隐式重启 Arnoldi 方法来查找特征值和特征向量 [2]。

参考文献

[1]

ARPACK Software, opencollab/arpack-ng

[2]

R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen, and C. Yang, ARPACK USERS GUIDE: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems by Implicitly Restarted Arnoldi Methods. SIAM, Philadelphia, PA, 1998.

示例

找到单位矩阵的 6 个特征向量

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import eigs
>>> id = np.eye(13)
>>> vals, vecs = eigs(id, k=6)
>>> vals
array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])
>>> vecs.shape
(13, 6)