scipy.sparse.linalg.

lsmr#

scipy.sparse.linalg.lsmr(A, b, damp=0.0, atol=1e-06, btol=1e-06, conlim=100000000.0, maxiter=None, show=False, x0=None)[源代码]#

用于最小二乘问题的迭代求解器。

lsmr 求解线性方程组 Ax = b。如果系统是不一致的，它会求解最小二乘问题 min ||b - Ax||_2。A 是一个 m 行 n 列的矩形矩阵，允许所有情况：m = n、m > n 或 m < n。b 是一个长度为 m 的向量。矩阵 A 可以是稠密的或稀疏的（通常是稀疏的）。

参数:
A{稀疏数组, ndarray, LinearOperator}

线性系统中的矩阵 A。或者，A 可以是一个线性算子，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax 和 A^H x。

barray_like, shape (m,)

线性系统中的向量 b。

dampfloat

用于正则化最小二乘的阻尼因子。lsmr 求解正则化最小二乘问题

min ||(b) - (  A   )x||
    ||(0)   (damp*I) ||_2

其中 damp 是一个标量。如果 damp 是 None 或 0，则在没有正则化的情况下求解系统。默认值为 0。

atol, btolfloat, optional

停止容差。lsmr 继续迭代，直到某个后向误差估计小于某个取决于 atol 和 btol 的量。令 r = b - Ax 为当前近似解 x 的残差向量。如果 Ax = b 似乎是一致的，lsmr 在 norm(r) <= atol * norm(A) * norm(x) + btol * norm(b) 时终止。否则，lsmr 在 norm(A^H r) <= atol * norm(A) * norm(r) 时终止。如果两个容差均为 1.0e-6（默认值），则最终的 norm(r) 应精确到大约 6 位数字。（最终的 x 通常具有较少的正确数字，具体取决于 cond(A) 和 LAMBDA 的大小。）如果 atol 或 btol 为 None，则将使用默认值 1.0e-6。理想情况下，它们应该是 A 和 b 条目中的相对误差的估计值。例如，如果 A 的条目具有 7 个正确的数字，则设置 atol = 1e-7。这可以防止算法执行超出输入数据不确定性的不必要的工作。

conlimfloat, optional

如果 cond(A) 的估计值超过 conlim，lsmr 终止。对于兼容系统 Ax = b，conlim 可以大到 1.0e+12（假设）。对于最小二乘问题，conlim 应小于 1.0e+8。如果 conlim 为 None，则默认值为 1e+8。可以通过设置 atol = btol = conlim = 0 来获得最大精度，但迭代次数可能过多。默认值为 1e8。

maxiterint, optional

如果迭代次数达到 maxiter，lsmr 终止。默认值为 maxiter = min(m, n)。对于病态系统，可能需要更大的 maxiter 值。默认值为 False。

showbool, optional

如果 show=True，则打印迭代日志。默认值为 False。

x0array_like, shape (n,), optional

x 的初始猜测，如果为 None，则使用零。默认值为 None。

1.0.0 版本中新增。

返回值:
xfloat 的 ndarray

返回最小二乘解。

istopint

istop 给出了停止的原因

istop   = 0 means x=0 is a solution.  If x0 was given, then x=x0 is a
            solution.
        = 1 means x is an approximate solution to A@x = B,
            according to atol and btol.
        = 2 means x approximately solves the least-squares problem
            according to atol.
        = 3 means COND(A) seems to be greater than CONLIM.
        = 4 is the same as 1 with atol = btol = eps (machine
            precision)
        = 5 is the same as 2 with atol = eps.
        = 6 is the same as 3 with CONLIM = 1/eps.
        = 7 means ITN reached maxiter before the other stopping
            conditions were satisfied.
itnint

使用的迭代次数。

normrfloat

norm(b-Ax)

normarfloat

norm(A^H (b - Ax))

normafloat

norm(A)

condafloat

A 的条件数。

normxfloat

norm(x)

注释

0.11.0 版本中新增。

参考文献

[1]

D. C.-L. Fong 和 M. A. Saunders，“LSMR：用于稀疏最小二乘问题的迭代算法”，SIAM J. Sci. Comput., vol. 33, pp. 2950-2971, 2011. arXiv:1006.0758

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import lsmr
>>> A = csc_array([[1., 0.], [1., 1.], [0., 1.]], dtype=float)

第一个示例具有平凡解 [0, 0]

>>> b = np.array([0., 0., 0.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, normr = lsmr(A, b)[:4]
>>> istop
0
>>> x
array([0., 0.])

返回的停止代码 istop=0 表示找到了零向量作为解。返回的解 x 确实包含 [0., 0.]。下一个示例具有非平凡解

>>> b = np.array([1., 0., -1.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, normr = lsmr(A, b)[:4]
>>> istop
1
>>> x
array([ 1., -1.])
>>> itn
1
>>> normr
4.440892098500627e-16

如 istop=1 所示，lsmr 找到了一个服从容差限制的解。给定的解 [1., -1.] 显然解决了该方程。剩余的返回值包括有关迭代次数 (itn=1) 和已解方程的左右侧的剩余差异的信息。最后一个示例演示了在方程没有解的情况下，该行为

>>> b = np.array([1., 0.01, -1.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, normr = lsmr(A, b)[:4]
>>> istop
2
>>> x
array([ 1.00333333, -0.99666667])
>>> A.dot(x)-b
array([ 0.00333333, -0.00333333,  0.00333333])
>>> normr
0.005773502691896255

istop 表示系统不一致，因此 x 更像是相应最小二乘问题的近似解。normr 包含找到的最小距离。

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