scipy.stats.dpareto_lognorm

scipy.stats.dpareto_lognorm = <scipy.stats._continuous_distns.dpareto_lognorm_gen object>

双帕累托对数正态连续随机变量。

作为 rv_continuous 类的实例，dpareto_lognorm 对象从中继承了一组通用方法（请参阅下面的完整列表），并使用此特定分布的详细信息对其进行补充。

方法

rvs(u, s, a, b, loc=0, scale=1, size=1, random_state=None)	随机变量。
pdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	概率密度函数。
logpdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	概率密度函数的对数。
cdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	累积分布函数。
logcdf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	累积分布函数的对数。
sf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	生存函数（也定义为 1 - cdf，但 sf 有时更准确）。
logsf(x, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	生存函数的对数。
ppf(q, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	百分点函数（cdf 的逆函数 - 百分位数）。
isf(q, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	逆生存函数（sf 的逆函数）。
moment(order, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	指定阶的非中心矩。
stats(u, s, a, b, loc=0, scale=1, moments=’mv’)	均值（‘m’），方差（‘v’），偏度（‘s’）和/或峰度（‘k’）。
entropy(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	RV 的（微分）熵。
fit(data)	通用数据的参数估计。有关关键字参数的详细文档，请参见 scipy.stats.rv_continuous.fit。
expect(func, args=(u, s, a, b), loc=0, scale=1, lb=None, ub=None, conditional=False, **kwds)	关于分布的函数（一个参数）的期望值。
median(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分布的中位数。
mean(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分布的均值。
var(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分布的方差。
std(u, s, a, b, loc=0, scale=1)	分布的标准差。
interval(confidence, u, s, a, b, loc=0, scale=1)	中位数周围具有相等面积的置信区间。

注释

dpareto_lognorm 的概率密度函数为

\[f(x, \mu, \sigma, \alpha, \beta) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta) x} \phi\left( \frac{\log x - \mu}{\sigma} \right) \left( R(y_1) + R(y_2) \right)\]

其中 \(R(t) = \frac{1 - \Phi(t)}{\phi(t)}\)，\(\phi\) 和 \(\Phi\) 分别是正态 PDF 和 CDF，\(y_1 = \alpha \sigma - \frac{\log x - \mu}{\sigma}\)，和 \(y_2 = \beta \sigma + \frac{\log x - \mu}{\sigma}\) 对于实数 \(x\) 和 \(\mu\), \(\sigma > 0\), \(\alpha > 0\)，和 \(\beta > 0\) [1]。

dpareto_lognorm 将 u 作为 \(\mu\) 的形状参数，s 作为 \(\sigma\) 的形状参数，a 作为 \(\alpha\) 的形状参数，以及 b 作为 \(\beta\) 的形状参数。

根据上面的 PDF 分布的随机变量 \(X\) 可以表示为 \(X = U \frac{V_1}{V_2}\) 其中 \(U\), \(V_1\), 和 \(V_2\) 是独立的，\(U\) 是对数正态分布的，使得 \(\log U \sim N(\mu, \sigma^2)\)，并且 \(V_1\) 和 \(V_2\) 分别遵循参数为 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的帕累托分布 [2]。

上面的概率密度以“标准化”形式定义。要移动和/或缩放分布，请使用 loc 和 scale 参数。具体来说，dpareto_lognorm.pdf(x, u, s, a, b, loc, scale) 与 dpareto_lognorm.pdf(y, u, s, a, b) / scale 完全等效，其中 y = (x - loc) / scale。 请注意，移动分布的位置不会使其成为“非中心”分布；某些分布的非中心推广在单独的类中可用。

参考文献

[1]

Hajargasht, Gholamreza, and William E. Griffiths. “Pareto-lognormal distributions: Inequality, poverty, and estimation from grouped income data.” Economic Modelling 33 (2013): 593-604.

[2]

Reed, William J., and Murray Jorgensen. “The double Pareto-lognormal distribution - a new parametric model for size distributions.” Communications in Statistics - Theory and Methods 33.8 (2004): 1733-1753.

示例

在浏览器中尝试一下！

>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats import dpareto_lognorm
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots(1, 1)

获取支持

>>> u, s, a, b = 3, 1.2, 1.5, 2
>>> lb, ub = dpareto_lognorm.support(u, s, a, b)

计算前四个矩

>>> mean, var, skew, kurt = dpareto_lognorm.stats(u, s, a, b, moments='mvsk')

显示概率密度函数（pdf）

>>> x = np.linspace(dpareto_lognorm.ppf(0.01, u, s, a, b),
...                 dpareto_lognorm.ppf(0.99, u, s, a, b), 100)
>>> ax.plot(x, dpareto_lognorm.pdf(x, u, s, a, b),
...        'r-', lw=5, alpha=0.6, label='dpareto_lognorm pdf')

或者，可以调用分布对象（作为函数）来固定形状、位置和比例参数。 这会返回一个“冻结”的 RV 对象，该对象保持给定的参数固定。

冻结分布并显示冻结的 pdf

>>> rv = dpareto_lognorm(u, s, a, b)
>>> ax.plot(x, rv.pdf(x), 'k-', lw=2, label='frozen pdf')

检查 cdf 和 ppf 的准确性

>>> vals = dpareto_lognorm.ppf([0.001, 0.5, 0.999], u, s, a, b)
>>> np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], dpareto_lognorm.cdf(vals, u, s, a, b))
True

生成随机数

>>> r = dpareto_lognorm.rvs(u, s, a, b, size=1000)

并比较直方图

>>> ax.hist(r, density=True, bins='auto', histtype='stepfilled', alpha=0.2)
>>> ax.set_xlim([x[0], x[-1]])
>>> ax.legend(loc='best', frameon=False)
>>> plt.show()

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