scipy.sparse.linalg.

tfqmr#

scipy.sparse.linalg.tfqmr(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None, show=False)[source]#

使用 Transpose-Free Quasi-Minimal Residual 方法求解 Ax = b。

参数:
A{稀疏数组, ndarray, LinearOperator}

线性系统的实数或复数 N 对 N 矩阵。或者，A 可以是一个线性算子，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。

b{ndarray}

线性系统的右侧。具有形状 (N,) 或 (N,1)。

x0{ndarray}

解决方案的起始猜测。

rtol, atolfloat, optional

收敛测试的参数。对于收敛，应满足 norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)。默认值为 rtol=1e-5，atol 的默认值为 0.0。

maxiterint, optional

最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也将在 maxiter 步后停止。默认值为 min(10000, ndofs * 10)，其中 ndofs = A.shape[0]。

M{稀疏数组, ndarray, LinearOperator}

A 的预处理器的逆。M 应该近似于 A 的逆，并且易于求解（参见注释）。有效的预处理可以显着提高收敛速度，这意味着需要更少的迭代才能达到给定的误差容限。默认情况下，不使用预处理器。

callbackfunction, optional

用户提供的函数，用于在每次迭代后调用。它被调用为 callback(xk)，其中 xk 是当前解决方案向量。

showbool, optional

指定 show = True 以显示收敛，show = False 关闭收敛的输出。默认值为 False。

返回:
xndarray

收敛的解决方案。

infoint

提供收敛信息

  • 0 : 成功退出

  • >0 : 未达到容差的收敛，迭代次数

  • <0 : 非法输入或中断

注释

Transpose-Free QMR 算法是从 CGS 算法派生的。然而，与 CGS 不同，TFQMR 方法的收敛曲线通过计算残差范数的准最小化来平滑。该实现支持左预处理器，并且在收敛标准中计算的“残差范数”实际上是实际残差范数 ||b - Axk|| 的上限。

参考文献

[1]

R. W. Freund, A Transpose-Free Quasi-Minimal Residual Algorithm for Non-Hermitian Linear Systems, SIAM J. Sci. Comput., 14(2), 470-482, 1993.

[2]

Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, Philadelphia, 2003.

[3]

C. T. Kelley, Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, number 16 in Frontiers in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1995.

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import tfqmr
>>> A = csc_array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = tfqmr(A, b, atol=0.0)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True
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