scipy.sparse.linalg.

tfqmr#

scipy.sparse.linalg.tfqmr(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None, show=False)[source]#

使用无转置准最小残差迭代法求解 Ax = b。

参数:
A{稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

线性系统的实数或复数 N×N 矩阵。或者，A 可以是线性算子，可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。

b{ndarray}

线性系统的右侧。形状为 (N,) 或 (N,1)。

x0{ndarray}

解的初始猜测。

rtol, atolfloat，可选

收敛测试参数。对于收敛，norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol) 应该满足。默认值为 rtol=1e-5，atol 的默认值为 0.0。

maxiterint，可选

最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代将在 maxiter 步后停止。默认值为 min(10000, ndofs * 10)，其中 ndofs = A.shape[0]。

M{稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

A 的预条件子的逆。M 应该近似 A 的逆，并且易于求解（参见备注）。有效的预条件化显着提高了收敛速度，这意味着达到给定误差容差所需的迭代次数更少。默认情况下，不使用任何预条件化。

callback函数，可选

每次迭代后调用的用户提供的函数。它被调用为 callback(xk)，其中 xk 是当前解向量。

showbool，可选

指定 show = True 以显示收敛，show = False 表示关闭收敛输出。默认值为 False。

返回值:
xndarray

收敛的解。

infoint

提供收敛信息

  • 0 : 退出成功

  • >0 : 未达到容差的收敛，迭代次数

  • <0 : 非法输入或故障

备注

无转置 QMR 算法源自 CGS 算法。但是，与 CGS 不同，TFQMR 方法的收敛曲线通过计算残差范数的准最小化而变得平滑。该实现支持左预条件化，在收敛准则中计算的“残差范数”实际上是实际残差范数 ||b - Axk|| 的上限。

参考文献

[1]

R. W. Freund，一种用于非厄米线性系统的无转置准最小残差算法，SIAM J. Sci. Comput.，14(2)，470-482，1993 年。

[2]

Y. Saad，稀疏线性系统的迭代方法，第二版，SIAM，费城，2003 年。

[3]

C. T. Kelley，线性与非线性方程的迭代方法，应用数学前沿第 16 号，SIAM，费城，1995 年。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import tfqmr
>>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = tfqmr(A, b, atol=0.0)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True
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