scipy.signal.

residue

scipy.signal.residue(b, a, tol=0.001, rtype='avg')

计算 b(s) / a(s) 的部分分式展开。

如果 M 是分子 b 的次数，N 是分母 a 的次数

        b(s)     b[0] s**(M) + b[1] s**(M-1) + ... + b[M]
H(s) = ------ = ------------------------------------------
        a(s)     a[0] s**(N) + a[1] s**(N-1) + ... + a[N]

则部分分式展开 H(s) 定义为

    r[0]       r[1]             r[-1]
= -------- + -------- + ... + --------- + k(s)
  (s-p[0])   (s-p[1])         (s-p[-1])

如果存在任何重根（彼此之间的距离小于 tol），则 H(s) 具有以下形式的项

  r[i]      r[i+1]              r[i+n-1]
-------- + ----------- + ... + -----------
(s-p[i])  (s-p[i])**2          (s-p[i])**n

此函数用于 s 或 z 的正幂多项式，例如控制工程中的模拟滤波器或数字滤波器。对于 z 的负幂（DSP 中数字滤波器的典型用法），请使用 residuez。

有关算法详情，请参阅注释。

参数:

b类数组对象

分子多项式系数。

a类数组对象

分母多项式系数。

tol浮点数，可选

在两个根之间的距离方面，判断它们是否相等的容差。默认值为 1e-3。有关更多详情，请参阅 unique_roots。

rtype{‘avg’, ‘min’, ‘max’}，可选

计算一个根以代表一组相同根的方法。默认值为 ‘avg’。有关更多详情，请参阅 unique_roots。

返回:

rndarray

与极点对应的留数。对于重极点，留数按幂级数分数升序排列。

pndarray

极点按幅值升序排列。

kndarray

直接多项式项的系数。

另请参阅

invres, residuez, numpy.poly, unique_roots

注释

计算中使用“通过减法进行降阶”算法 — 参考 [1] 中的方法 6。

部分分式展开的形式取决于严格数学意义上的极点重数。然而，在数值计算中无法精确确定多项式根的重数。因此，您应该将给定 tol 的 residue 函数的结果视为对由经验确定的重数计算出的极点组成的分母进行的部分分式展开。如果存在接近的极点，tol 的选择可能会显著改变结果。

参考文献

[1]

J. F. Mahoney, B. D. Sivazlian, “Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency”, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 9, 1983.