scipy.linalg.

fiedler#

scipy.linalg.fiedler(a)[source]#

返回对称的 Fiedler 矩阵

给定一组数字 a，Fiedler 矩阵具有结构 F[i, j] = np.abs(a[i] - a[j])，因此对角线为零且条目非负。Fiedler 矩阵有一个占主导地位的正特征值，其他特征值为负。虽然通常不成立，但对于某些输入，逆矩阵和行列式可以根据 [1] 中给出的显式公式推导出。

参数:

a(n,) array_like: 系数数组

返回值:

F(n, n) ndarray

另请参阅

circulant, toeplitz

备注

在版本 1.3.0 中添加。

参考文献

[1]

J. Todd，"基本数值数学：第 2 卷：数值代数"，1977 年，Birkhauser，DOI:10.1007/978-3-0348-7286-7

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import det, inv, fiedler
>>> a = [1, 4, 12, 45, 77]
>>> n = len(a)
>>> A = fiedler(a)
>>> A
array([[ 0,  3, 11, 44, 76],
       [ 3,  0,  8, 41, 73],
       [11,  8,  0, 33, 65],
       [44, 41, 33,  0, 32],
       [76, 73, 65, 32,  0]])

行列式和逆矩阵的显式公式似乎仅适用于单调递增/递减数组。注意三对角线结构和角部。

>>> Ai = inv(A)
>>> Ai[np.abs(Ai) < 1e-12] = 0.  # cleanup the numerical noise for display
>>> Ai
array([[-0.16008772,  0.16666667,  0.        ,  0.        ,  0.00657895],
       [ 0.16666667, -0.22916667,  0.0625    ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.0625    , -0.07765152,  0.01515152,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.01515152, -0.03077652,  0.015625  ],
       [ 0.00657895,  0.        ,  0.        ,  0.015625  , -0.00904605]])
>>> det(A)
15409151.999999998
>>> (-1)**(n-1) * 2**(n-2) * np.diff(a).prod() * (a[-1] - a[0])
15409152