scipy.linalg.

fiedler#

scipy.linalg.fiedler(a)[source]#

返回一个对称的 Fiedler 矩阵

给定一个数字序列 a，Fiedler 矩阵的结构为 F[i, j] = np.abs(a[i] - a[j])，因此对角线为零且所有元素非负。Fiedler 矩阵有一个主导正特征值，其他特征值均为负。虽然通常不普遍适用，但在某些输入下，其逆矩阵和行列式可以如 [1] 中所述明确推导。

参数:

a(…, n,) 数组类型: 系数数组。N 维数组被视为批处理：沿最后一个轴的每个切片都是一个一维系数数组。

返回:

F(…, n, n) ndarray: Fiedler 矩阵。对于批处理输入，输出的最后两个维度上形状为 (n, n) 的每个切片都对应于输入的最后一个维度上形状为 (n,) 的切片。

另请参阅

circulant, toeplitz

备注

在 1.3.0 版本中添加。

参考文献

[1]

J. Todd, “Basic Numerical Mathematics: Vol.2 : Numerical Algebra”, 1977, Birkhauser, DOI:10.1007/978-3-0348-7286-7

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import det, inv, fiedler
>>> a = [1, 4, 12, 45, 77]
>>> n = len(a)
>>> A = fiedler(a)
>>> A
array([[ 0,  3, 11, 44, 76],
       [ 3,  0,  8, 41, 73],
       [11,  8,  0, 33, 65],
       [44, 41, 33,  0, 32],
       [76, 73, 65, 32,  0]])

行列式的显式公式和逆矩阵似乎仅对单调递增/递减数组有效。请注意三对角结构和角落。

>>> Ai = inv(A)
>>> Ai[np.abs(Ai) < 1e-12] = 0.  # cleanup the numerical noise for display
>>> Ai
array([[-0.16008772,  0.16666667,  0.        ,  0.        ,  0.00657895],
       [ 0.16666667, -0.22916667,  0.0625    ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.0625    , -0.07765152,  0.01515152,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.01515152, -0.03077652,  0.015625  ],
       [ 0.00657895,  0.        ,  0.        ,  0.015625  , -0.00904605]])
>>> det(A)
15409151.999999998
>>> (-1)**(n-1) * 2**(n-2) * np.diff(a).prod() * (a[-1] - a[0])
15409152