scipy.linalg.

eigh#

scipy.linalg.eigh(a, b=None, *, lower=True, eigvals_only=False, overwrite_a=False, overwrite_b=False, type=1, check_finite=True, subset_by_index=None, subset_by_value=None, driver=None)[source]#

求解一个复厄米特矩阵或实对称矩阵的标准或广义特征值问题。

找到数组的特征值阵列 w，可选择特征向量阵列 v，其中 b 为正定阵，对于每个特征值 λ (w 的第 i 个条目) 及其特征向量 vi (v 的第 i 个列)，满足

              a @ vi = λ * b @ vi
vi.conj().T @ a @ vi = λ
vi.conj().T @ b @ vi = 1

在标准问题中，b 被认为是单位矩阵。

参数:

a(M, M) 类似数组

一个复杂的埃尔米特算子或实对称矩阵，用它运算特征值和特征向量。

b(M, M) 类似数组，可选择

一个正定的复杂埃尔米特算子或实对称矩阵。如果省略，将认为是单位矩阵。

lowerbool，可选择

从 a 和（如果适用）b 的下三角或上三角获取相关数组数据。（默认值：下三角）

eigvals_onlybool，可选择

是否仅计算特征值而不计算特征向量。（默认值：计算两种）

subset_by_index可迭代对象，可选择

如已提供，此双元素可迭代对象定义期望特征值的起始索引和结束索引（升序且 0 索引）。使用 [1, 4] 只返回第二小到第五小的特征值。 [n-3, n-1] 返回最大的三个。仅通过 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驱动程序使用。这些条目将直接通过 int() 转换为整数。

subset_by_value可迭代对象，可选择

如已提供，此双元素可迭代对象定义半开区间 (a, b]，如果此区间存在，则只会返回介于这些值之间的特征值。仅通过 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驱动程序使用。使用 np.inf 表示不受限制的端点。

driverstr，可选择

定义应使用哪个 LAPACK 驱动程序。对标准问题而言，有效选项为 “ev”、“evd”、“evr”、“evx”，而对广义问题（其中 b 为非 None）而言，有效选项为 “gv”、“gvd”、“gvx”。见注释部分。标准问题的默认值为 “evr”。对于广义问题，使用 “gvd” 表示全套，使用 “gvx” 表示所请求的子集情况。

typeint，可选择

对于广义问题，此关键词指定要为 w 和 v 解决的问题类型（仅接收 1、2、3 作为可能的输入）

=>     a @ v = w @ b @ v
=> a @ b @ v = w @ v
=> b @ a @ v = w @ v

此关键词对于标准问题将被忽略。

overwrite_a布尔值，可选

是否覆盖 a 中的数据（可能提高性能）。默认为 False。

overwrite_b布尔值，可选

是否覆盖 b 中的数据（可能提高性能）。默认为 False。

check_finite布尔值，可选

是否检查输入矩阵仅包含有限数字。禁用可能提高性能，但如果输入确实包含无穷大或 NaN，可能会导致问题（崩溃、不终止）。

返回:

w(N,) ndarray: N (N<=M) 个选定特征值，按升序排列，每个特征值重复次数与其重数相同。
v(M, N) ndarray: 对应于特征值 w[i] 的归一化特征向量是列 v[:,i]。仅当 eigvals_only=False 时返回。

引发:

LinAlgError: 如果特征值计算无法收敛，则会发生错误，或者 b 矩阵不是正定的。请注意，如果输入矩阵不是对称的或埃尔米特的，则不会报告错误，但结果将会错误。

另请参见

eigvalsh: 对称或埃尔米特数组的特征值
eig: 非对称数组的特征值和右特征向量
eigh_tridiagonal: 对称/埃尔米特三对角矩阵的特征值和右特征向量

注意

此函数不检查输入数组是否为埃尔米特/对称，以允许只用其上/下三角部分来表示数组。另外，请注意，尽管未考虑，但有限性检查适用于整个数组，并且不受“lower”关键字的影响。

此函数使用 LAPACK 驱动程序对所有可能的关键字组合进行计算，如果数组是实数组，则加上 sy 前缀，如果数组是复数组，则加上 he 前缀，例如，一个带有“evr”驱动程序的浮点数组将通过“syevr”来解决，带有“gvx”驱动程序的复数组问题将通过“hegvx”等来解决。

简要总结一下，最慢且最稳健的驱动程序是经典的 <sy/he>ev，它使用对称 QR。 <sy/he>evr 被视为最通用案例的最佳选择。然而，在某些情况下，<sy/he>evd 的计算速度更快，但会占用更多内存。 <sy/he>evx 的计算速度仍然比 <sy/he>ev 更快，但其通常表现得比其他驱动程序更差，但当只为大型数组请求很少的特征值时除外，尽管仍然没有性能保证。

请注意，底层的 LAPACK 算法不同，具体取决于 eigvals_only 是 True 还是 False，因此特征值可能因是否请求特征向量而异。差异通常是机器精度乘以最大特征值的数量级，因此可能仅对零或接近零的特征值可见。

对于广义问题，相对于给定类型的参数进行归一化

type 1 and 3 :      v.conj().T @ a @ v = w
type 2       : inv(v).conj().T @ a @ inv(v) = w

type 1 or 2  :      v.conj().T @ b @ v  = I
type 3       : v.conj().T @ inv(b) @ v  = I

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import eigh
>>> A = np.array([[6, 3, 1, 5], [3, 0, 5, 1], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 2, 2]])
>>> w, v = eigh(A)
>>> np.allclose(A @ v - v @ np.diag(w), np.zeros((4, 4)))
True

仅请求特征值

>>> w = eigh(A, eigvals_only=True)

请求小于 10 的特征值。

>>> A = np.array([[34, -4, -10, -7, 2],
...               [-4, 7, 2, 12, 0],
...               [-10, 2, 44, 2, -19],
...               [-7, 12, 2, 79, -34],
...               [2, 0, -19, -34, 29]])
>>> eigh(A, eigvals_only=True, subset_by_value=[-np.inf, 10])
array([6.69199443e-07, 9.11938152e+00])

请求第二小的特征值及其特征向量

>>> w, v = eigh(A, subset_by_index=[1, 1])
>>> w
array([9.11938152])
>>> v.shape  # only a single column is returned
(5, 1)