scipy.linalg.

eigh#

scipy.linalg.eigh(a, b=None, *, lower=True, eigvals_only=False, overwrite_a=False, overwrite_b=False, type=1, check_finite=True, subset_by_index=None, subset_by_value=None, driver=None)[源代码]#

求解复 Hermitian 或实对称矩阵的标准或广义特征值问题。

求数组 a 的特征值数组 w，以及可选的特征向量数组 v。其中 b 是正定的，使得对于每个特征值 λ （w 的第 i 个条目）及其特征向量 vi（v 的第 i 列）满足

              a @ vi = λ * b @ vi
vi.conj().T @ a @ vi = λ
vi.conj().T @ b @ vi = 1

在标准问题中，假设 b 是单位矩阵。

参数:

a(M, M) 类数组

一个复 Hermitian 或实对称矩阵，其特征值和特征向量将被计算。

b(M, M) 类数组，可选

一个复 Hermitian 或实对称正定矩阵。如果省略，则假定为单位矩阵。

lowerbool，可选

是否从 a 的下三角或上三角以及（如果适用）b 中获取相关数组数据。（默认值：lower）

eigvals_onlybool，可选

是否只计算特征值，而不计算特征向量。（默认值：两者都计算）

subset_by_index可迭代对象，可选

如果提供，此双元素可迭代对象定义所需特征值的起始和结束索引（升序且从 0 开始索引）。要仅返回第二小到第五小的特征值，请使用 [1, 4]。[n-3, n-1] 返回最大的三个。仅适用于 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驱动程序。条目通过 int() 直接转换为整数。

subset_by_value可迭代对象，可选

如果提供，此双元素可迭代对象定义半开区间 (a, b]，如果存在，则仅返回此值之间的特征值。仅适用于 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驱动程序。对于不受约束的末端，请使用 np.inf。

driverstr，可选

定义应使用哪个 LAPACK 驱动程序。有效选项是标准问题的 “ev”、“evd”、“evr”、“evx” 和广义问题（其中 b 不是 None）的 “gv”、“gvd”、“gvx”。请参阅“注释”部分。标准问题的默认值为 “evr”。对于广义问题，对于完整集，使用 “gvd”，对于请求子集的情况，使用 “gvx”。

typeint，可选

对于广义问题，此关键字指定要为 w 和 v 求解的问题类型（仅接受 1、2、3 作为可能的输入）

=>     a @ v = w @ b @ v
=> a @ b @ v = w @ v
=> b @ a @ v = w @ v

此关键字对于标准问题将被忽略。

overwrite_abool，可选

是否覆盖 a 中的数据（可能会提高性能）。默认值为 False。

overwrite_bbool，可选

是否覆盖 b 中的数据（可能会提高性能）。默认值为 False。

check_finitebool，可选

是否检查输入矩阵是否仅包含有限数字。禁用可能会提高性能，但如果输入包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题（崩溃、不终止）。

返回:

w(N,) ndarray: N (N<=M) 个选定的特征值，按升序排列，每个特征值根据其重数重复。
v(M, N) ndarray: 与特征值 w[i] 相对应的归一化特征向量是列 v[:,i]。仅当 eigvals_only=False 时返回。

引发:

LinAlgError: 如果特征值计算不收敛、发生错误或 b 矩阵不是正定的。请注意，如果输入矩阵不是对称或 Hermitian，则不会报告任何错误，但结果将是错误的。

另请参阅

eigvalsh: 对称或 Hermitian 数组的特征值
eig: 非对称数组的特征值和右特征向量
eigh_tridiagonal: 对称/Hermitian 三对角矩阵的特征值和右特征向量

注释

此函数不检查输入数组是否为 Hermitian/对称，以便允许仅使用其上/下三角部分来表示数组。另请注意，即使不考虑，有限性检查也适用于整个数组，并且不受 “lower” 关键字的影响。

此函数使用 LAPACK 驱动程序进行所有可能关键字组合的计算，如果数组是实数，则以 sy 为前缀，如果数组是复数，则以 he 为前缀，例如，具有 “evr” 驱动程序的浮点数组通过 “syevr” 求解，具有 “gvx” 驱动程序问题的复数数组通过 “hegvx” 求解等。

简而言之，最慢且最健壮的驱动程序是经典的 <sy/he>ev，它使用对称 QR。<sy/he>evr 被视为最通用情况的最佳选择。但是，在某些情况下，<sy/he>evd 计算速度更快，但会占用更多内存。<sy/he>evx 虽然仍比 <sy/he>ev 快，但通常比其余的性能更差，除非为大型数组请求的特征值很少，但仍然无法保证性能。

请注意，底层 LAPACK 算法根据 eigvals_only 是 True 还是 False 而有所不同 — 因此，特征值可能会因是否请求特征向量而有所不同。差异通常是机器 epsilon 乘以最大特征值的数量级，因此可能仅对零或接近零的特征值可见。

对于广义问题，相对于给定的类型参数进行归一化

type 1 and 3 :      v.conj().T @ a @ v = w
type 2       : inv(v).conj().T @ a @ inv(v) = w

type 1 or 2  :      v.conj().T @ b @ v  = I
type 3       : v.conj().T @ inv(b) @ v  = I

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import eigh
>>> A = np.array([[6, 3, 1, 5], [3, 0, 5, 1], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 2, 2]])
>>> w, v = eigh(A)
>>> np.allclose(A @ v - v @ np.diag(w), np.zeros((4, 4)))
True

仅请求特征值

>>> w = eigh(A, eigvals_only=True)

请求小于 10 的特征值。

>>> A = np.array([[34, -4, -10, -7, 2],
...               [-4, 7, 2, 12, 0],
...               [-10, 2, 44, 2, -19],
...               [-7, 12, 2, 79, -34],
...               [2, 0, -19, -34, 29]])
>>> eigh(A, eigvals_only=True, subset_by_value=[-np.inf, 10])
array([6.69199443e-07, 9.11938152e+00])

请求第二小的特征值及其特征向量

>>> w, v = eigh(A, subset_by_index=[1, 1])
>>> w
array([9.11938152])
>>> v.shape  # only a single column is returned
(5, 1)