scipy.linalg.

eigh#

scipy.linalg.eigh(a, b=None, *, lower=True, eigvals_only=False, overwrite_a=False, overwrite_b=False, type=1, check_finite=True, subset_by_index=None, subset_by_value=None, driver=None)[源代码]#

求解复埃尔米特（Hermitian）或实对称矩阵的标准或广义特征值问题。

查找数组 a 的特征值数组 w 以及（可选）特征向量数组 v，其中 b 是正定的，使得对于每个特征值 λ（w 的第 i 个条目）及其特征向量 vi（v 的第 i 列）满足

              a @ vi = λ * b @ vi
vi.conj().T @ a @ vi = λ
vi.conj().T @ b @ vi = 1

在标准问题中，假设 b 为单位矩阵。

文档编写时假设数组参数具有指定的“核心（core）”形状。但是，此函数的数组参数可以在核心形状之前添加额外的“批次（batch）”维度。在这种情况下，数组被视为低维切片的批次；详情请参阅批量线性运算。请注意，不支持零大小批次的调用，否则将引发 ValueError。

参数:

a(M, M) array_like

将计算其特征值和特征向量的复埃尔米特或实对称矩阵。

b(M, M) array_like, 可选

复埃尔米特或实对称正定矩阵。如果省略，则假定为单位矩阵。

lowerbool, 可选

相关数组数据是从 a（以及 b，如果适用）的下三角还是上三角获取。（默认：lower，即下三角）

eigvals_onlybool, 可选

是否仅计算特征值而不计算特征向量。（默认：两者都计算）

subset_by_indexiterable, 可选

如果提供，此双元素可迭代对象定义了所需特征值的起始和结束索引（升序排列且从 0 开始计数）。要仅返回第二小到第五小的特征值，使用 [1, 4]。[n-3, n-1] 返回最大的三个。仅适用于 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驱动程序。条目通过 int() 直接转换为整数。

subset_by_valueiterable, 可选

如果提供，此双元素可迭代对象定义了一个半开区间 (a, b]，如果存在，则仅返回这些值之间的特征值。仅适用于 “evr”、“evx” 和 “gvx” 驱动程序。对于无约束端，使用 np.inf。

driverstr, 可选

定义应使用哪个 LAPACK 驱动程序。标准问题的有效选项为 “ev”、“evd”、“evr”、“evx”，广义问题（b 不为 None 时）的有效选项为 “gv”、“gvd”、“gvx”。请参阅“注意”部分。标准问题的默认值为 “evr”。对于广义问题，全集请求使用 “gvd”，子集请求则使用 “gvx”。

typeint, 可选

对于广义问题，此关键字指定要为 w 和 v 求解的问题类型（仅接受 1、2、3 作为可能的输入）

=>     a @ v = w @ b @ v
=> a @ b @ v = w @ v
=> b @ a @ v = w @ v

此关键字在标准问题中会被忽略。

overwrite_abool, 可选

是否覆盖 a 中的数据（可能提高性能）。默认为 False。

overwrite_bbool, 可选

是否覆盖 b 中的数据（可能提高性能）。默认为 False。

check_finitebool, optional

是否检查输入矩阵是否仅包含有限数。禁用检查可能会获得性能提升，但如果输入确实包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题（崩溃、无法终止）。

返回:

w(N,) ndarray: N 个（N<=M）选定的特征值，按升序排列，每个特征值根据其重数重复。
v(M, N) ndarray: 对应于特征值 w[i] 的归一化特征向量是列 v[:,i]。仅在 eigvals_only=False 时返回。

引发:

LinAlgError: 如果特征值计算不收敛、发生错误或 b 矩阵不是正定的，则抛出此异常。请注意，如果输入矩阵不是对称或埃尔米特的，则不会报错，但结果将是错误的。

另请参阅

eigvalsh: 对称或埃尔米特数组的特征值
eig: 非对称数组的特征值和右特征向量
eigh_tridiagonal: 对称/埃尔米特三对角矩阵的特征值和右特征向量

附注

此函数不会检查输入数组是否为埃尔米特/对称，以便允许仅使用上/下三角部分表示数组。另外请注意，尽管不考虑三角部分，但有限性检查适用于整个数组，且不受 “lower” 关键字的影响。

此函数在所有可能的关键字组合中使用 LAPACK 驱动程序进行计算，如果数组是实数，则前缀为 sy，如果是复数，则前缀为 he。例如，使用 “evr” 驱动程序的 float 数组通过 “syevr” 求解，使用 “gvx” 驱动程序的复数数组问题通过 “hegvx” 求解，依此类推。

简要概括，最慢且最稳健的驱动程序是使用对称 QR 的经典 <sy/he>ev。<sy/he>evr 被视为处理最一般情况的最佳选择。然而，在某些情况下，<sy/he>evd 计算速度更快，但代价是内存消耗更多。<sy/he>evx 虽然仍比 <sy/he>ev 快，但通常表现不如其他驱动程序，除非针对大数组请求极少数特征值，尽管即便如此也没有性能保证。

请注意，底层的 LAPACK 算法根据 eigvals_only 是 True 还是 False 而有所不同 —— 因此，特征值可能会根据是否请求特征向量而有所不同。差异通常在机器精度乘以最大特征值的量级，因此可能仅在零或接近零的特征值中可见。

对于广义问题，根据给定的 type 参数进行归一化

type 1 and 3 :      v.conj().T @ a @ v = w
type 2       : inv(v).conj().T @ a @ inv(v) = w

type 1 or 2  :      v.conj().T @ b @ v  = I
type 3       : v.conj().T @ inv(b) @ v  = I

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import eigh
>>> A = np.array([[6, 3, 1, 5], [3, 0, 5, 1], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 2, 2]])
>>> w, v = eigh(A)
>>> np.allclose(A @ v - v @ np.diag(w), np.zeros((4, 4)))
True

仅请求特征值

>>> w = eigh(A, eigvals_only=True)

请求小于 10 的特征值。

>>> A = np.array([[34, -4, -10, -7, 2],
...               [-4, 7, 2, 12, 0],
...               [-10, 2, 44, 2, -19],
...               [-7, 12, 2, 79, -34],
...               [2, 0, -19, -34, 29]])
>>> eigh(A, eigvals_only=True, subset_by_value=[-np.inf, 10])
array([6.69199443e-07, 9.11938152e+00])

请求第二小的特征值及其特征向量

>>> w, v = eigh(A, subset_by_index=[1, 1])
>>> w
array([9.11938152])
>>> v.shape  # only a single column is returned
(5, 1)