scipy.linalg.

eigh#

scipy.linalg.eigh(a, b=None, *, lower=True, eigvals_only=False, overwrite_a=False, overwrite_b=False, type=1, check_finite=True, subset_by_index=None, subset_by_value=None, driver=None)[source]#

求解复数厄米特矩阵或实数对称矩阵的标准或广义特征值问题。

找到数组 a 的特征值数组 w，并可选地找到特征向量数组 v，其中 b 是正定矩阵，使得每个特征值 λ (w 的第 i 个条目) 及其特征向量 vi (v 的第 i 列) 满足

              a @ vi = λ * b @ vi
vi.conj().T @ a @ vi = λ
vi.conj().T @ b @ vi = 1

在标准问题中，b 被假定为单位矩阵。

本说明文档假定数组参数具有指定的“核心”形状。但是，此函数的数组参数可能在核心形状前附加额外的“批次”维度。在这种情况下，数组被视为较低维度切片的批次；详情请参阅批处理线性运算。

参数:

a(M, M) array_like

将计算其特征值和特征向量的复数厄米特矩阵或实数对称矩阵。

b(M, M) array_like, optional

一个复数厄米特或实数对称正定矩阵。如果省略，则假定为单位矩阵。

lowerbool, optional

相关数组数据是取自 a（如果适用，还有 b）的下三角形还是上三角形。(默认值: lower)

eigvals_onlybool, optional

是否只计算特征值而不计算特征向量。(默认值: 两者都计算)

subset_by_indexiterable, optional

如果提供，此两元素可迭代对象定义了所需特征值的起始和结束索引（升序排列，0-索引）。要仅返回第二小到第五小的特征值，使用 [1, 4]。[n-3, n-1] 返回最大的三个。仅适用于“evr”、“evx”和“gvx”驱动器。条目通过 int() 直接转换为整数。

subset_by_valueiterable, optional

如果提供，此两元素可迭代对象定义了半开区间 (a, b]，如果存在，则仅返回这些值之间的特征值。仅适用于“evr”、“evx”和“gvx”驱动器。对于无约束的末端，使用 np.inf。

driverstr, optional

定义应使用哪个 LAPACK 驱动器。有效选项包括标准问题的“ev”、“evd”、“evr”、“evx”以及广义问题（其中 b 不为 None）的“gv”、“gvd”、“gvx”。请参阅“备注”部分。标准问题的默认值为“evr”。对于广义问题，完整集合使用“gvd”，请求子集时使用“gvx”。

typeint, optional

对于广义问题，此关键字指定了为 w 和 v 解决的问题类型（只能接受 1, 2, 3 作为可能的输入）

=>     a @ v = w @ b @ v
=> a @ b @ v = w @ v
=> b @ a @ v = w @ v

对于标准问题，此关键字将被忽略。

overwrite_abool, optional

是否覆盖 a 中的数据（可能会提高性能）。默认值为 False。

overwrite_bbool, optional

是否覆盖 b 中的数据（可能会提高性能）。默认值为 False。

check_finitebool, optional

是否检查输入矩阵仅包含有限数值。禁用此选项可能会提高性能，但如果输入包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题（崩溃、无法终止）。

返回:

w(N,) ndarray: N (N<=M) 个选定的特征值，按升序排列，每个按其多重性重复。
v(M, N) ndarray: 与特征值 w[i] 对应的归一化特征向量是列 v[:,i]。仅当 eigvals_only=False 时返回。

抛出:

LinAlgError: 如果特征值计算不收敛、发生错误或矩阵 b 不是正定矩阵。请注意，如果输入矩阵不是对称或厄米特的，则不会报告错误，但结果将是错误的。

另请参阅

eigvalsh: 对称或厄米特数组的特征值
eig: 非对称数组的特征值和右特征向量
eigh_tridiagonal: 对称/厄米特三对角矩阵的特征值和右特征向量

备注

此函数不检查输入数组是否为厄米特/对称，以允许仅用其上/下三角部分表示数组。另请注意，即使未考虑，有限性检查也适用于整个数组，并且不受“lower”关键字的影响。

此函数在所有可能的关键字组合中都使用 LAPACK 驱动器进行计算，如果数组为实数，则前缀为 sy；如果为复数，则前缀为 he。例如，带有“evr”驱动器的浮点数组通过“syevr”解决，带有“gvx”驱动器问题的复数数组通过“hegvx”解决等。

简而言之，最慢但最稳健的驱动器是经典的 <sy/he>ev，它使用对称 QR。<sy/he>evr 被视为最通用情况下的最佳选择。然而，在某些情况下，<sy/he>evd 计算速度更快，但代价是占用更多内存。<sy/he>evx 虽然仍比 <sy/he>ev 快，但通常表现不如其他驱动器，除非对于大型数组仅请求少数特征值，尽管仍然没有性能保证。

请注意，底层 LAPACK 算法会因 eigvals_only 为 True 或 False 而异——因此特征值可能因是否请求特征向量而不同。这种差异通常是机器 epsilon 乘以最大特征值的量级，因此可能只对零或接近零的特征值可见。

对于广义问题，根据给定类型参数进行归一化

type 1 and 3 :      v.conj().T @ a @ v = w
type 2       : inv(v).conj().T @ a @ inv(v) = w

type 1 or 2  :      v.conj().T @ b @ v  = I
type 3       : v.conj().T @ inv(b) @ v  = I

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import eigh
>>> A = np.array([[6, 3, 1, 5], [3, 0, 5, 1], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 2, 2]])
>>> w, v = eigh(A)
>>> np.allclose(A @ v - v @ np.diag(w), np.zeros((4, 4)))
True

仅请求特征值

>>> w = eigh(A, eigvals_only=True)

请求小于 10 的特征值。

>>> A = np.array([[34, -4, -10, -7, 2],
...               [-4, 7, 2, 12, 0],
...               [-10, 2, 44, 2, -19],
...               [-7, 12, 2, 79, -34],
...               [2, 0, -19, -34, 29]])
>>> eigh(A, eigvals_only=True, subset_by_value=[-np.inf, 10])
array([6.69199443e-07, 9.11938152e+00])

请求第二小的特征值及其特征向量

>>> w, v = eigh(A, subset_by_index=[1, 1])
>>> w
array([9.11938152])
>>> v.shape  # only a single column is returned
(5, 1)