fht#
- scipy.fft.fht(a, dln, mu, offset=0.0, bias=0.0)[源代码]#
计算快速汉克尔变换。
使用 FFTLog 算法 [1], [2] 计算对数均匀间隔周期序列的离散汉克尔变换。
- 参数:
- a类数组 (…, n)
实数周期输入数组，均匀对数间隔。对于多维输入，变换在最后一个轴上执行。
- dln浮点数
输入数组的均匀对数间隔。
- mu浮点数
汉克尔变换的阶数，可以是任意正数或负数实数。
- offset浮点数，可选
输出数组均匀对数间隔的偏移量。
- bias浮点数，可选
幂律偏差的指数，可以是任意正数或负数实数。
- 返回:
- A类数组 (…, n)
变换后的输出数组，它是一个实数、周期性、均匀对数间隔的数组，形状与输入数组相同。
备注
此函数计算汉克尔变换的离散版本
\[A(k) = \int_{0}^{\infty} \! a(r) \, J_\mu(kr) \, k \, dr \;,\]其中 \(J_\mu\) 是 \(\mu\) 阶贝塞尔函数。索引 \(\mu\) 可以是任意实数，正数或负数。请注意，数值汉克尔变换使用 \(k \, dr\) 作为被积函数，而数学汉克尔变换通常使用 \(r \, dr\) 进行定义。
输入数组 a 是一个长度为 \(n\) 的周期序列，均匀对数间隔，间隔为 dln，
\[a_j = a(r_j) \;, \quad r_j = r_c \exp[(j-j_c) \, \mathtt{dln}]\]以点 \(r_c\) 为中心。请注意，如果 \(n\) 为偶数，则中心索引 \(j_c = (n-1)/2\) 是半整数，因此 \(r_c\) 位于两个输入元素之间。同样，输出数组 A 是一个长度为 \(n\) 的周期序列，也均匀对数间隔，间隔为 dln
\[A_j = A(k_j) \;, \quad k_j = k_c \exp[(j-j_c) \, \mathtt{dln}]\]以点 \(k_c\) 为中心。
周期区间的中心点 \(r_c\) 和 \(k_c\) 可以任意选择，但通常会将乘积 \(k_c r_c = k_j r_{n-1-j} = k_{n-1-j} r_j\) 设为 1。这可以通过 offset 参数进行更改，该参数控制输出数组的对数偏移量 \(\log(k_c) = \mathtt{offset} - \log(r_c)\)。为 offset 选择最佳值可以减少离散汉克尔变换的振铃效应。
如果 bias 参数非零，此函数将计算偏差汉克尔变换的离散版本
\[A(k) = \int_{0}^{\infty} \! a_q(r) \, (kr)^q \, J_\mu(kr) \, k \, dr\]其中 \(q\) 是 bias 的值，并且对输入序列施加了幂律偏差 \(a_q(r) = a(r) \, (kr)^{-q}\)。如果存在一个值 \(q\) 使得 \(a_q(r)\) 接近周期序列，则对变换施加偏差可以帮助近似 \(a(r)\) 的连续变换，在这种情况下，得到的 \(A(k)\) 将接近连续变换。
参考文献
[1]Talman J. D., 1978, J. Comp. Phys., 29, 35
示例
此示例是 [2] 中提供的
fftlogtest.f的改编版本。它评估积分\[\int^\infty_0 r^{\mu+1} \exp(-r^2/2) J_\mu(kr) k dr = k^{\mu+1} \exp(-k^2/2) .\]>>> import numpy as np >>> from scipy import fft >>> import matplotlib.pyplot as plt
变换参数。
>>> mu = 0.0 # Order mu of Bessel function >>> r = np.logspace(-7, 1, 128) # Input evaluation points >>> dln = np.log(r[1]/r[0]) # Step size >>> offset = fft.fhtoffset(dln, initial=-6*np.log(10), mu=mu) >>> k = np.exp(offset)/r[::-1] # Output evaluation points
定义解析函数。
>>> def f(x, mu): ... """Analytical function: x^(mu+1) exp(-x^2/2).""" ... return x**(mu + 1)*np.exp(-x**2/2)
在
r处评估函数，并使用 FFTLog 计算k处的对应值。>>> a_r = f(r, mu) >>> fht = fft.fht(a_r, dln, mu=mu, offset=offset)
对于此示例，我们实际上可以计算解析响应（在此例中与输入函数相同）以进行比较并计算相对误差。
>>> a_k = f(k, mu) >>> rel_err = abs((fht-a_k)/a_k)
绘制结果。
>>> figargs = {'sharex': True, 'sharey': True, 'constrained_layout': True} >>> fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4), **figargs) >>> ax1.set_title(r'$r^{\mu+1}\ \exp(-r^2/2)$') >>> ax1.loglog(r, a_r, 'k', lw=2) >>> ax1.set_xlabel('r') >>> ax2.set_title(r'$k^{\mu+1} \exp(-k^2/2)$') >>> ax2.loglog(k, a_k, 'k', lw=2, label='Analytical') >>> ax2.loglog(k, fht, 'C3--', lw=2, label='FFTLog') >>> ax2.set_xlabel('k') >>> ax2.legend(loc=3, framealpha=1) >>> ax2.set_ylim([1e-10, 1e1]) >>> ax2b = ax2.twinx() >>> ax2b.loglog(k, rel_err, 'C0', label='Rel. Error (-)') >>> ax2b.set_ylabel('Rel. Error (-)', color='C0') >>> ax2b.tick_params(axis='y', labelcolor='C0') >>> ax2b.legend(loc=4, framealpha=1) >>> ax2b.set_ylim([1e-9, 1e-3]) >>> plt.show()
