scipy.sparse.linalg.

cg#

scipy.sparse.linalg.cg(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None)[source]#

使用共轭梯度法求解 Ax = b，其中 A 是对称正定矩阵。

参数:

A{稀疏数组, ndarray, LinearOperator}: 线性系统的实数或复数 N-by-N 矩阵。 A 必须表示 Hermitian 正定矩阵。或者，A 可以是一个线性算子，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。
bndarray: 线性系统的右侧。形状为 (N,) 或 (N,1)。
x0ndarray: 解的起始猜测。
rtol, atolfloat, 可选: 收敛测试的参数。对于收敛，应满足 norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)。默认值为 atol=0. 和 rtol=1e-5。
maxiter整数: 最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。
M{稀疏数组, ndarray, LinearOperator}: A 的预处理算子。 M 必须表示 Hermitian 正定矩阵。它应该近似于 A 的逆（参见注释）。有效的预处理可以显著提高收敛速度，这意味着需要更少的迭代才能达到给定的误差容限。
callback函数: 每次迭代后要调用的用户提供的函数。它被调用为 callback(xk)，其中 xk 是当前的解向量。

返回:

xndarray

收敛解。

info整数

提供收敛信息: 0: 成功退出 >0: 未达到容差的收敛，迭代次数

注释

预处理算子 M 应该是一个矩阵，使得 M @ A 的条件数小于 A，参见 [2]。

参考文献

[1]

“共轭梯度法”，维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method

[2]

“预处理器”，维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Preconditioner

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import cg
>>> P = np.array([[4, 0, 1, 0],
...               [0, 5, 0, 0],
...               [1, 0, 3, 2],
...               [0, 0, 2, 4]])
>>> A = csc_array(P)
>>> b = np.array([-1, -0.5, -1, 2])
>>> x, exit_code = cg(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exit_code)    # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True