scipy.sparse.csgraph.

min_weight_full_bipartite_matching#

scipy.sparse.csgraph.min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency, maximize=False)#

返回二分图的最小权重完全匹配。

在 1.6.0 版本中添加。

参数:

biadjacency稀疏数组或矩阵: 二分图的邻接矩阵：CSR、CSC 或 COO 格式的稀疏数组，其行表示图的一个分区，列表示另一个分区。两个顶点之间的边由矩阵中相应的条目表示，边的权重由该条目的值给出。这不应与图的完整邻接矩阵混淆，因为我们只需要定义二分结构的子矩阵。
maximize布尔值 (默认值: False): 如果为真，则计算最大权重匹配。

返回:

row_ind, col_ind数组: 一个行索引数组和一个对应的列索引数组，给出最佳匹配。匹配的总权重可以计算为 graph[row_ind, col_ind].sum()。行索引将被排序；对于方阵，它们将等于 numpy.arange(graph.shape[0])。

说明

设 \(G = ((U, V), E)\) 为带非零权重 \(w : E \to \mathbb{R} \setminus \{0\}\) 的加权二分图。则此函数生成一个匹配 \(M \subseteq E\)，其基数为

\[\lvert M \rvert = \min(\lvert U \rvert, \lvert V \rvert),\]

该匹配最小化匹配中包含的边的权重之和，\(\sum_{e \in M} w(e)\)，或者如果不存在此类匹配则引发错误。

当 \(\lvert U \rvert = \lvert V \rvert\) 时，这通常被称为完美匹配；这里，由于我们允许 \(\lvert U \rvert\) 和 \(\lvert V \rvert\) 不同，我们遵循 Karp [1] 并将匹配称为完全匹配。

此函数实现 LAPJVsp 算法 [2]，它是 “线性分配问题，Jonker–Volgenant，稀疏” 的缩写。

它解决的问题等同于矩形线性分配问题。[3] 因此，此函数可以用于解决与 scipy.optimize.linear_sum_assignment 相同的问题。当输入密集时，或者对于某些特定类型的输入（例如，第 \((i, j)\) 个条目是欧几里得空间中两点之间的距离），该函数可能表现更好。

如果不存在完全匹配，此函数会引发 ValueError。有关确定图中最大匹配大小的信息，请参阅 maximum_bipartite_matching。

我们要求权重仅为非零，以避免在不同稀疏表示之间转换时处理显式零的问题。可以通过向所有权重添加一个常数来处理零权重，以便得到的矩阵不包含零。

如果存在多个有效解，则输出可能因 SciPy 和 Python 版本而异。

参考文献

[1]

Richard Manning Karp：一种在预期时间 O(mn log n) 内解决 m x n 分配问题的算法。网络，10(2):143-152, 1980。

[2]

Roy Jonker 和 Anton Volgenant：一种用于密集和稀疏线性分配问题的最短增广路径算法。计算 38:325-340, 1987。

[3]

https://en.wikipedia.org/wiki/Assignment_problem

示例

>>> from scipy.sparse import csr_array
>>> from scipy.sparse.csgraph import min_weight_full_bipartite_matching

让我们首先考虑一个所有权重都相等的示例

>>> biadjacency = csr_array([[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]])

在这里，我们得到的只是图的完美匹配

>>> print(min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)[1])
[2 0 1]

也就是说，第一、第二和第三行分别与第三、第一和第二列匹配。请注意，在此示例中，输入矩阵中的 0 不是对应于权重为 0 的边，而是对应于不由边配对的一对顶点。

另请注意，在这种情况下，输出与应用 maximum_bipartite_matching 的结果相匹配

>>> from scipy.sparse.csgraph import maximum_bipartite_matching
>>> biadjacency = csr_array([[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]])
>>> print(maximum_bipartite_matching(biadjacency, perm_type='column'))
[2 0 1]

当有多个边可用时，优先选择权重最低的边

>>> biadjacency = csr_array([[3, 3, 6], [4, 3, 5], [10, 1, 8]])
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(col_ind)
[0 2 1]

在这种情况下，总权重为 \(3 + 5 + 1 = 9\)

>>> print(biadjacency[row_ind, col_ind].sum())
9

当矩阵不是方形时，即当两个分区具有不同的基数时，匹配的大小与两个分区中较小的一个一样大

>>> biadjacency = csr_array([[0, 1, 1], [0, 2, 3]])
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(row_ind, col_ind)
[0 1] [2 1]
>>> biadjacency = csr_array([[0, 1], [3, 1], [1, 4]])
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(row_ind, col_ind)
[0 2] [1 0]

当一个或两个分区为空时，匹配也为空

>>> biadjacency = csr_array((2, 0))
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(row_ind, col_ind)
[] []

通常，我们将始终达到与使用 scipy.optimize.linear_sum_assignment 相同的权重总和，但请注意，对于后者，缺失的边由 float('inf') 的数组条目表示。让我们生成一个随机稀疏数组，其条目为 1 到 10 之间的整数

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import random_array
>>> from scipy.optimize import linear_sum_assignment
>>> sparse = random_array((10, 10), rng=42, density=.5, format='coo') * 10
>>> sparse.data = np.ceil(sparse.data)
>>> dense = sparse.toarray()
>>> dense = np.full(sparse.shape, np.inf)
>>> dense[sparse.row, sparse.col] = sparse.data
>>> sparse = sparse.tocsr()
>>> row_ind, col_ind = linear_sum_assignment(dense)
>>> print(dense[row_ind, col_ind].sum())
25.0
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(sparse)
>>> print(sparse[row_ind, col_ind].sum())
25.0