scipy.sparse.csgraph.

min_weight_full_bipartite_matching#

scipy.sparse.csgraph.min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency_matrix, maximize=False)#

返回二部图的最小权重完全匹配。

在版本 1.6.0 中添加。

参数:

biadjacency_matrix稀疏矩阵: 二部图的双邻接矩阵：以 CSR、CSC 或 COO 格式表示的稀疏矩阵，其行表示图的一个分区，其列表示另一个分区。两个顶点之间的边由矩阵中的相应条目表示，边的权重由该条目的值给出。这应该与图的完整邻接矩阵区分开来，因为我们只需要定义二部结构的子矩阵。
maximize布尔值（默认值：False）: 如果为真，则计算最大权重匹配。

返回值:

row_ind, col_ind数组: 一个行索引数组和一个对应列索引数组，给出最佳匹配。匹配的总权重可以计算为 graph[row_ind, col_ind].sum()。行索引将被排序；在方阵的情况下，它们将等于 numpy.arange(graph.shape[0])。

备注

设 \(G = ((U, V), E)\) 为一个带非零权重的加权二部图 \(w : E \to \mathbb{R} \setminus \{0\}\)。然后，此函数会生成一个匹配 \(M \subseteq E\)，其基数为

\[\lvert M \rvert = \min(\lvert U \rvert, \lvert V \rvert),\]

它最小化了包含在匹配中的边的权重之和，\(\sum_{e \in M} w(e)\)，或者如果不存在此类匹配，则会引发错误。

当 \(\lvert U \rvert = \lvert V \rvert\) 时，这通常称为完美匹配；这里，由于我们允许 \(\lvert U \rvert\) 和 \(\lvert V \rvert\) 不同，我们遵循 Karp [1] 并将其称为完全匹配。

此函数实现了 LAPJVsp 算法 [2]，即“线性分配问题，Jonker–Volgenant，稀疏”。

它解决的问题等同于矩形线性分配问题。 [3] 因此，此函数可用于解决与 scipy.optimize.linear_sum_assignment 相同的问题。当输入密集或对于某些特定类型的输入（例如，其中 \((i, j)\) 第一个条目是欧几里得空间中两点之间的距离）时，该函数可能会执行得更好。

如果不存在完全匹配，则此函数将引发 ValueError。要确定图中最大匹配的大小，请参见 maximum_bipartite_matching.

我们要求权重非零只是为了避免在不同稀疏表示之间转换时处理显式零的问题。零权重可以通过将常数添加到所有权重来处理，从而使生成的矩阵不包含零。

如果可能有多个有效解决方案，则输出可能会随 SciPy 和 Python 版本而异。

参考文献

[1]

Richard Manning Karp：一种在预期时间 O(mn log n) 内解决 m x n 分配问题的算法。网络，10(2)：143-152，1980 年。

[2]

Roy Jonker 和 Anton Volgenant：一种用于密集和稀疏线性分配问题的最短增广路径算法。计算 38：325-340，1987 年。

[3]

https://en.wikipedia.org/wiki/Assignment_problem

示例

>>> from scipy.sparse import csr_matrix
>>> from scipy.sparse.csgraph import min_weight_full_bipartite_matching

让我们首先考虑一个所有权重都相等的示例

>>> biadjacency_matrix = csr_matrix([[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]])

在这里，我们只得到了图的完美匹配

>>> print(min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency_matrix)[1])
[2 0 1]

也就是说，第一、第二和第三行分别与第三、第一和第二列匹配。请注意，在此示例中，输入矩阵中的 0 *不* 对应于权重为 0 的边，而是对应于没有边配对的一对顶点。

还要注意，在这种情况下，输出与应用 maximum_bipartite_matching 的结果相匹配

>>> from scipy.sparse.csgraph import maximum_bipartite_matching
>>> biadjacency = csr_matrix([[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]])
>>> print(maximum_bipartite_matching(biadjacency, perm_type='column'))
[2 0 1]

当多个边可用时，将优先考虑权重最低的边

>>> biadjacency = csr_matrix([[3, 3, 6], [4, 3, 5], [10, 1, 8]])
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(col_ind)
[0 2 1]

在这种情况下，总权重为 \(3 + 5 + 1 = 9\)

>>> print(biadjacency[row_ind, col_ind].sum())
9

当矩阵不是方阵时，即当两个分区具有不同的基数时，匹配与两个分区中较小的那个一样大

>>> biadjacency = csr_matrix([[0, 1, 1], [0, 2, 3]])
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(row_ind, col_ind)
[0 1] [2 1]
>>> biadjacency = csr_matrix([[0, 1], [3, 1], [1, 4]])
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(row_ind, col_ind)
[0 2] [1 0]

当一个或两个分区为空时，匹配也为空

>>> biadjacency = csr_matrix((2, 0))
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(biadjacency)
>>> print(row_ind, col_ind)
[] []

一般来说，我们始终会达到与使用 scipy.optimize.linear_sum_assignment 相同的权重总和，但请注意，对于那个函数，缺失的边由 float('inf') 的矩阵条目表示。让我们生成一个随机的稀疏矩阵，其整数条目介于 1 到 10 之间

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import random
>>> from scipy.optimize import linear_sum_assignment
>>> sparse = random(10, 10, random_state=42, density=.5, format='coo') * 10
>>> sparse.data = np.ceil(sparse.data)
>>> dense = sparse.toarray()
>>> dense = np.full(sparse.shape, np.inf)
>>> dense[sparse.row, sparse.col] = sparse.data
>>> sparse = sparse.tocsr()
>>> row_ind, col_ind = linear_sum_assignment(dense)
>>> print(dense[row_ind, col_ind].sum())
28.0
>>> row_ind, col_ind = min_weight_full_bipartite_matching(sparse)
>>> print(sparse[row_ind, col_ind].sum())
28.0