scipy.sparse.csgraph.

maximum_bipartite_matching#

scipy.sparse.csgraph.maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row')#

返回一个二分图的匹配，其基数至少与图中任何给定匹配的基数相同。

参数:

graph稀疏矩阵: 以 CSR 格式输入的稀疏矩阵，其行代表图的一个分区，其列代表另一个分区。两个顶点之间的边由矩阵中相应的条目在其稀疏表示中存在来指示。
perm_typestr, {‘row’, ‘column’}: 以哪个分区来返回匹配：如果为 'row'，则该函数产生一个长度等于输入列数的数组，其第 \(j\) 个元素是与第 \(j\) 列匹配的行。反之，如果 perm_type 为 'column'，则这将返回与每行匹配的列。

返回值:

permndarray: 两个分区中一个中顶点的匹配。未匹配的顶点在结果中表示为 -1。

备注

此函数实现 Hopcroft-Karp 算法 [1]。其时间复杂度为 \(O(\lvert E \rvert \sqrt{\lvert V \rvert})\)，其空间复杂度与行数成线性关系。在实践中，行和列之间的这种不对称性意味着如果输入包含的列比行多，则转置输入可能更高效。

根据 Konig 定理，匹配的基数也是图中最小顶点覆盖的顶点数。

请注意，如果稀疏表示包含显式零，则这些零仍然被计为边。

在 SciPy 1.4.0 中更改了实现，以允许匹配一般二分图，而以前版本会假设存在完美匹配。因此，针对 1.4.0 编写的代码不一定能在旧版本上运行。

如果可能存在多个有效解，输出可能会因 SciPy 和 Python 版本而异。

参考文献

[1]

John E. Hopcroft 和 Richard M. Karp。“二分图中最大匹配的 n^{5 / 2} 算法” 在：SIAM 计算杂志 2.4 (1973)，第 225–231 页。 DOI:10.1137/0202019

示例

>>> from scipy.sparse import csr_matrix
>>> from scipy.sparse.csgraph import maximum_bipartite_matching

作为一个简单的例子，考虑一个二分图，其中分区分别包含 2 个和 3 个元素。假设一个分区包含标号为 0 和 1 的顶点，另一个分区包含标号为 A、B 和 C 的顶点。假设存在连接 0 和 C、1 和 A 以及 1 和 B 的边。那么该图将由以下稀疏矩阵表示

>>> graph = csr_matrix([[0, 0, 1], [1, 1, 0]])

这里，1 可以是任何值，只要它们最终被存储为稀疏矩阵中的元素即可。我们现在可以计算最大匹配，如下所示

>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[2 0]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[ 1 -1  0]

第一个输出告诉我们 1 和 2 分别与 C 和 A 匹配，而第二个输出告诉我们 A、B 和 C 分别与 1、无和 0 匹配。

请注意，显式零仍然被转换为边。这意味着另一种表示上述图的方法是直接使用 CSR 结构，如下所示

>>> data = [0, 0, 0]
>>> indices = [2, 0, 1]
>>> indptr = [0, 1, 3]
>>> graph = csr_matrix((data, indices, indptr))
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[2 0]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[ 1 -1  0]

当一个或两个分区为空时，匹配也为空

>>> graph = csr_matrix((2, 0))
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[-1 -1]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[]

当输入矩阵为方阵且已知图允许完美匹配（即具有所有图中每个顶点都属于匹配中某个边的属性的匹配）时，则可以将输出视为行（或列）的排列，将输入矩阵转换为具有所有对角元素非空的属性的矩阵

>>> a = [[0, 1, 2, 0], [1, 0, 0, 1], [2, 0, 0, 3], [0, 1, 3, 0]]
>>> graph = csr_matrix(a)
>>> perm = maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row')
>>> print(graph[perm].toarray())
[[1 0 0 1]
 [0 1 2 0]
 [0 1 3 0]
 [2 0 0 3]]