scipy.sparse.csgraph.

maximum_flow#

scipy.sparse.csgraph.maximum_flow(csgraph, source, sink)#

最大化图中两个顶点之间的流量。

在版本 1.4.0 中添加。

参数:
csgraphcsr_matrix

表示有向图的方阵，其 (i, j) 项是表示顶点 i 和 j 之间边容量的整数。

sourceint

流量流出的源顶点。

sinkint

流量流入的汇顶点。

method: {‘edmonds_karp’, ‘dinic’}, 可选

用于计算最大流量的方法/算法。支持以下方法：

  • ‘edmonds_karp’：[1] 中的 Edmonds Karp 算法。

  • ‘dinic’：[4] 中的 Dinic 算法。

默认为 ‘dinic’。

在版本 1.8.0 中添加。

返回值:
resMaximumFlowResult

由 MaximumFlowResult 表示的最大流量，其中包括 flow_value 中的流量值，以及 flow 中的流量图。

引发:
TypeError

如果输入图不是 CSR 格式。

ValueError

如果容量值不是整数，或者源或汇超出范围。

注释

这在给定的有向加权图上解决了最大流问题：流量将小于边容量的值（也称为流量）与每个边相关联，以便对于每个顶点（源和汇顶点除外），总的传入流量等于总的传出流量。流量的值是离开源顶点的所有边的流量之和，最大流问题在于找到具有最大值的流量。

根据最大流最小割定理，最大流量值也是最小割中边的总权重。

为了解决这个问题，我们提供了 Edmonds–Karp [1] 和 Dinic 算法 [4]。两种算法的实现都力求利用稀疏性。前者的时间复杂度为 \(O(|V|\,|E|^2)\)，空间复杂度为 \(O(|E|)\)。后者通过构建层次图并在其中找到阻塞流来实现其性能。其时间复杂度为 \(O(|V|^2\,|E|)\)，空间复杂度为 \(O(|E|)\)。

最大流问题通常用实值容量定义，但为了确保收敛，我们需要所有容量都是整数。当处理有理容量，或属于 \(x\mathbb{Q}\) 的容量（对于某个固定的 \(x \in \mathbb{R}\) 时），可以通过相应地缩放所有容量将问题简化为整数情况。

解决最大流问题可以用于例如计算机视觉中的图割优化 [3]。

参考资料

[1] (1,2)

Edmonds, J. and Karp, R. M. 网络流问题算法效率的理论改进。1972 年。ACM 杂志。19（2）：第 248-264 页

[2]

Cormen, T. H. and Leiserson, C. E. and Rivest, R. L. and Stein C. 算法导论。第二版。2001 年。麻省理工学院出版社。

[4] (1,2)

Dinic, Efim A. 用于解决具有功率估计的网络中的最大流问题的算法。在 Soviet Math. Doklady 中，第 11 卷，第 1277-1280 页。1970 年。

示例

也许最简单的流问题是只有两个顶点的图，从源（0）到汇（1）有一条边

(0) --5--> (1)

这里，最大流只是边的容量

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csr_matrix
>>> from scipy.sparse.csgraph import maximum_flow
>>> graph = csr_matrix([[0, 5], [0, 0]])
>>> maximum_flow(graph, 0, 1).flow_value
5
>>> maximum_flow(graph, 0, 1, method='edmonds_karp').flow_value
5

另一方面，如果源和汇之间存在瓶颈，这会降低最大流

(0) --5--> (1) --3--> (2)

>>> graph = csr_matrix([[0, 5, 0], [0, 0, 3], [0, 0, 0]])
>>> maximum_flow(graph, 0, 2).flow_value
3

[2]，第 26.1 章中给出了一个不太简单的示例

>>> graph = csr_matrix([[0, 16, 13,  0,  0,  0],
...                     [0,  0, 10, 12,  0,  0],
...                     [0,  4,  0,  0, 14,  0],
...                     [0,  0,  9,  0,  0, 20],
...                     [0,  0,  0,  7,  0,  4],
...                     [0,  0,  0,  0,  0,  0]])
>>> maximum_flow(graph, 0, 5).flow_value
23

可以在二分图中找到最大匹配的问题减少为最大流问题：令 \(G = ((U, V), E)\) 为二分图。然后，在图中添加一个源顶点，该顶点与 \(U\) 中的每个顶点相连，并添加一个汇顶点，该顶点与 \(V\) 中的每个顶点相连。最后，给结果图中的每条边赋予容量 1。然后，新图中的最大流给出了原始图中的最大匹配，该匹配由 \(E\) 中流量为正的边组成。

假设边由 \(\lvert U \rvert \times \lvert V \rvert\) 矩阵以 CSR 格式表示，其 \((i, j)\) 项如果从 \(i \in U\) 到 \(j \in V\) 有一条边则为 1，否则为 0；也就是说，输入是 maximum_bipartite_matching 所需的格式。然后，上面构造的图的 CSR 表示包含此矩阵作为块。这是一个例子

>>> graph = csr_matrix([[0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 1, 0]])
>>> print(graph.toarray())
[[0 1 0 1]
 [1 0 1 0]
 [0 1 1 0]]
>>> i, j = graph.shape
>>> n = graph.nnz
>>> indptr = np.concatenate([[0],
...                          graph.indptr + i,
...                          np.arange(n + i + 1, n + i + j + 1),
...                          [n + i + j]])
>>> indices = np.concatenate([np.arange(1, i + 1),
...                           graph.indices + i + 1,
...                           np.repeat(i + j + 1, j)])
>>> data = np.ones(n + i + j, dtype=int)
>>>
>>> graph_flow = csr_matrix((data, indices, indptr))
>>> print(graph_flow.toarray())
[[0 1 1 1 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 1 0 1 0]
 [0 0 0 0 1 0 1 0 0]
 [0 0 0 0 0 1 1 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0]]

此时，我们可以找到添加的汇和添加的源之间的最大流，并且可以通过将流函数限制在对应于原始图的块来获得所需的匹配

>>> result = maximum_flow(graph_flow, 0, i+j+1, method='dinic')
>>> matching = result.flow[1:i+1, i+1:i+j+1]
>>> print(matching.toarray())
[[0 1 0 0]
 [1 0 0 0]
 [0 0 1 0]]

这告诉我们 \(U\) 中的第一个、第二个和第三个顶点分别与 \(V\) 中的第二个、第一个和第三个顶点匹配。

虽然这在一般情况下解决了最大二分匹配问题，但请注意，专门针对该问题的算法，例如 maximum_bipartite_matching，通常会表现得更好。

这种方法也可以用于解决最大二分匹配问题的各种常见推广。例如，如果某些顶点可以与多个其他顶点匹配，则可以通过适当修改新图的容量来处理。

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