place_poles#
- scipy.signal.place_poles(A, B, poles, method='YT', rtol=0.001, maxiter=30)[源代码]#
计算 K 使得特征值 (A - dot(B, K))=poles。
K 是增益矩阵，使得由线性系统
AX+BU描述的系统，其闭环极点，即特征值A - B*K，尽可能接近在极点中要求的那些。支持 SISO、MISO 和 MIMO 系统。
- 参数:
- A, Bndarray
线性系统
AX + BU的状态空间表示。- polesarray_like
期望的实极点和/或复共轭极点。只有在
method="YT"（默认）时才支持复极点。- method: {‘YT’, ‘KNV0’}, 可选
选择哪种方法来查找增益矩阵 K。选项之一为：
‘YT’: Yang Tits
‘KNV0’: Kautsky、Nichols、Van Dooren 更新方法 0
有关算法的详细信息，请参阅参考资料和注释。
- rtol: float, 可选
每次迭代后，将
A - B*K的特征向量的行列式与其先前值进行比较，当这两个值之间的相对误差小于 rtol 时，算法停止。默认值为 1e-3。- maxiter: int, 可选
计算增益矩阵的最大迭代次数。默认值为 30。
- 返回:
- full_state_feedbackBunch 对象
- full_state_feedback 由以下部分组成
- gain_matrix1-D ndarray
闭环矩阵 K，使得
A-BK的特征值尽可能接近请求的极点。- computed_poles1-D ndarray
与
A-BK对应的极点，先按递增顺序排列实极点，然后按字典顺序排列复共轭极点。- requested_poles1-D ndarray
算法要求放置的极点，按上述顺序排列，它们可能与实际实现的有所不同。
- X2-D ndarray
传递矩阵，使得
X * diag(poles) = (A - B*K)*X（见注释）- rtolfloat
在
det(X)上实现的相对容差（见注释）。如果可以求解系统diag(poles) = (A - B*K)，则 rtol 将为 NaN，或者当优化算法无法执行任何操作时，即当B.shape[1] == 1时，rtol 将为 0。- nb_iterint
收敛之前执行的迭代次数。如果可以求解系统
diag(poles) = (A - B*K)，则 nb_iter 将为 NaN，或者当优化算法无法执行任何操作时，即当B.shape[1] == 1时，nb_iter 将为 0。
注释
Tits 和 Yang (YT)，[2] 论文是对最初的 Kautsky 等人 (KNV) 论文 [1] 的更新。KNV 依靠秩 1 更新来找到传递矩阵 X，使得
X * diag(poles) = (A - B*K)*X，而 YT 使用秩 2 更新。这平均产生更稳健的解决方案（请参阅 [2] pp 21-22），此外，YT 算法支持复极点，而 KNV 在其原始版本中不支持。此处仅实现了 KNV 提出的更新方法 0，因此得名'KNV0'。扩展到复极点的 KNV 在 Matlab 的
place函数中使用，YT 由 Slicot 以非免费许可证的形式分发，名称为robpole。目前尚不清楚并且没有文档记录 KNV0 如何扩展到复极点（Tits 和 Yang 在他们的论文第 14 页声称他们的方法不能用于将 KNV 扩展到复极点），因此在此实现中只有 YT 支持它们。由于对于 MIMO 系统来说，极点放置问题的解不是唯一的，因此两种方法都从一个试探性的传递矩阵开始，该矩阵以各种方式进行更改以增加其行列式。两种方法都已被证明可以收敛到稳定的解决方案，但是，根据初始传递矩阵的选择方式，它们将收敛到不同的解决方案，因此绝对不能保证使用
'KNV0'会产生与 Matlab 或这些算法的任何其他实现类似的结果。在大多数情况下，使用默认方法
'YT'应该可以；仅在某些特定情况下'YT'需要时才提供'KNV0'。此外，当abs(det(X))用作鲁棒性指标时，'YT'平均会比'KNV0'给出更稳健的结果。[2] 可在以下 URL 作为技术报告获得：https://hdl.handle.net/1903/5598
参考资料
示例
一个简单的示例，演示了使用 KNV 和 YT 算法进行实极点放置。这是参考 KNV 出版物 ([1]) 第 4 节中的示例 1
>>> import numpy as np >>> from scipy import signal >>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> A = np.array([[ 1.380, -0.2077, 6.715, -5.676 ], ... [-0.5814, -4.290, 0, 0.6750 ], ... [ 1.067, 4.273, -6.654, 5.893 ], ... [ 0.0480, 4.273, 1.343, -2.104 ]]) >>> B = np.array([[ 0, 5.679 ], ... [ 1.136, 1.136 ], ... [ 0, 0, ], ... [-3.146, 0 ]]) >>> P = np.array([-0.2, -0.5, -5.0566, -8.6659])
现在使用 KNV 方法 0、默认的 YT 方法和 YT 方法计算 K，同时强制算法进行 100 次迭代，并在每次调用后打印一些结果。
>>> fsf1 = signal.place_poles(A, B, P, method='KNV0') >>> fsf1.gain_matrix array([[ 0.20071427, -0.96665799, 0.24066128, -0.10279785], [ 0.50587268, 0.57779091, 0.51795763, -0.41991442]])
>>> fsf2 = signal.place_poles(A, B, P) # uses YT method >>> fsf2.computed_poles array([-8.6659, -5.0566, -0.5 , -0.2 ])
>>> fsf3 = signal.place_poles(A, B, P, rtol=-1, maxiter=100) >>> fsf3.X array([[ 0.52072442+0.j, -0.08409372+0.j, -0.56847937+0.j, 0.74823657+0.j], [-0.04977751+0.j, -0.80872954+0.j, 0.13566234+0.j, -0.29322906+0.j], [-0.82266932+0.j, -0.19168026+0.j, -0.56348322+0.j, -0.43815060+0.j], [ 0.22267347+0.j, 0.54967577+0.j, -0.58387806+0.j, -0.40271926+0.j]])
X 的行列式的绝对值是一个很好的指标，用于检查结果的鲁棒性，
'KNV0'和'YT'的目标都是最大化它。以下是上述结果的鲁棒性比较>>> abs(np.linalg.det(fsf1.X)) < abs(np.linalg.det(fsf2.X)) True >>> abs(np.linalg.det(fsf2.X)) < abs(np.linalg.det(fsf3.X)) True
现在是一个关于复极点的简单示例
>>> A = np.array([[ 0, 7/3., 0, 0 ], ... [ 0, 0, 0, 7/9. ], ... [ 0, 0, 0, 0 ], ... [ 0, 0, 0, 0 ]]) >>> B = np.array([[ 0, 0 ], ... [ 0, 0 ], ... [ 1, 0 ], ... [ 0, 1 ]]) >>> P = np.array([-3, -1, -2-1j, -2+1j]) / 3. >>> fsf = signal.place_poles(A, B, P, method='YT')
我们可以在复平面上绘制所需的和计算的极点
>>> t = np.linspace(0, 2*np.pi, 401) >>> plt.plot(np.cos(t), np.sin(t), 'k--') # unit circle >>> plt.plot(fsf.requested_poles.real, fsf.requested_poles.imag, ... 'wo', label='Desired') >>> plt.plot(fsf.computed_poles.real, fsf.computed_poles.imag, 'bx', ... label='Placed') >>> plt.grid() >>> plt.axis('image') >>> plt.axis([-1.1, 1.1, -1.1, 1.1]) >>> plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1), loc=2, numpoints=1)
