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scipy.linalg.

solve_discrete_are#

scipy.linalg.solve_discrete_are(a, b, q, r, e=None, s=None, balanced=True)[源代码]#

求解离散时间代数Riccati方程 (DARE)。

DARE 定义为

\[A^HXA - X - (A^HXB) (R + B^HXB)^{-1} (B^HXA) + Q = 0\]

存在解的限制条件是

  • \(A\) 的所有特征值在单位圆之外，应该是可控的。

  • 相关的辛铅笔（参见注释）的特征值应充分远离单位圆。

此外，如果 e 和 s 并非都精确地为 None，则广义 DARE

\[A^HXA - E^HXE - (A^HXB+S) (R+B^HXB)^{-1} (B^HXA+S^H) + Q = 0\]

被求解。当省略时，e 假定为单位矩阵，而 s 假定为零矩阵。

参数:
a(M, M) 数组型

方阵

b(M, N) 数组型

输入

q(M, M) 数组型

输入

r(N, N) 数组型

方阵

e(M, M) 数组型，可选

非奇异方阵

s(M, N) 数组型，可选

输入

balancedbool

指示是否对数据执行平衡步骤的布尔值。默认设置为 True。

返回:
x(M, M) ndarray

离散代数Riccati方程的解。

引发:
LinAlgError

对于无法隔离铅笔的稳定子空间的情况。有关详细信息，请参见注释部分和参考资料。

另请参阅

solve_continuous_are

求解连续代数Riccati方程

注释

该方程通过形成扩展的辛矩阵铅笔来求解，如 [1] 中所述，\(H - \lambda J\) 由分块矩阵给出

[  A   0   B ]             [ E   0   B ]
[ -Q  E^H -S ] - \lambda * [ 0  A^H  0 ]
[ S^H  0   R ]             [ 0 -B^H  0 ]

并使用 QZ 分解方法。

在此算法中，失败条件与乘积 \(U_2 U_1^{-1}\) 的对称性和 \(U_1\) 的条件数有关。在这里，\(U\) 是 2m×m 矩阵，它保存跨越稳定子空间的特征向量，具有 2-m 行并被分成两个 m 行矩阵。有关更多详细信息，请参见 [1] 和 [2]。

为了提高 QZ 分解精度，铅笔会经历一个平衡步骤，其中 \(H\) 和 \(J\) 行/列的绝对值之和（去除对角线项后）按照 [3] 中给出的方法进行平衡。如果数据具有小的数值噪声，平衡可能会放大其影响，因此需要进行一些清理。

在 0.11.0 版本中添加。

参考资料

[1] (1,2)

P. van Dooren , “求解 Riccati 方程的广义特征值方法”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol.2(2), DOI:10.1137/0902010

[2]

A.J. Laub, “求解代数Riccati方程的Schur方法”, 马萨诸塞理工学院。信息与决策系统实验室。 LIDS-R ; 859。在线可用：http://hdl.handle.net/1721.1/1301

[3]

P. Benner, “哈密顿矩阵的辛平衡”，2001 年，SIAM J. Sci. Comput., 2001, Vol.22(5), DOI:10.1137/S1064827500367993

示例

给定 a、b、q 和 r，求解 x

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg as la
>>> a = np.array([[0, 1], [0, -1]])
>>> b = np.array([[1, 0], [2, 1]])
>>> q = np.array([[-4, -4], [-4, 7]])
>>> r = np.array([[9, 3], [3, 1]])
>>> x = la.solve_discrete_are(a, b, q, r)
>>> x
array([[-4., -4.],
       [-4.,  7.]])
>>> R = la.solve(r + b.T.dot(x).dot(b), b.T.dot(x).dot(a))
>>> np.allclose(a.T.dot(x).dot(a) - x - a.T.dot(x).dot(b).dot(R), -q)
True
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