scipy.linalg.

solve_discrete_are#

scipy.linalg.solve_discrete_are(a, b, q, r, e=None, s=None, balanced=True)[源代码]#

求解离散时间代数 Riccati 方程 (DARE)。

DARE 的定义如下：

\[A^HXA - X - (A^HXB) (R + B^HXB)^{-1} (B^HXA) + Q = 0\]

解存在的限制条件是：

  • 单位圆盘外的所有 \(A\) 的特征值都应是可控的。

  • 相关的辛矩阵束（参见“备注”）的特征值应远离单位圆。

此外，如果 e 和 s 不都精确为 None，则广义 DARE 方程

\[A^HXA - E^HXE - (A^HXB+S) (R+B^HXB)^{-1} (B^HXA+S^H) + Q = 0\]

被求解。如果省略，e 被假定为单位矩阵，s 被假定为零矩阵。

本文档假定数组参数具有指定的“核心”形状。然而，此函数的数组参数可能在核心形状前附加额外的“批处理”维度。在这种情况下，数组被视为低维切片的批处理；有关详细信息，请参阅 批处理线性操作。

参数:
a(M, M) 数组类型

方阵

b(M, N) 数组类型

输入

q(M, M) 数组类型

输入

r(N, N) 数组类型

方阵

e(M, M) 数组类型，可选

非奇异方阵

s(M, N) 数组类型，可选

输入

balanced布尔值

一个布尔值，指示是否对数据执行平衡步骤。默认设置为 True。

返回:
x(M, M) ndarray

离散代数 Riccati 方程的解。

引发:
LinAlgError

对于无法分离矩阵束的稳定子空间的情况。详细信息请参见“备注”部分和参考文献。

另请参见

solve_continuous_are

求解连续代数 Riccati 方程

备注

该方程通过构造扩展辛矩阵束来求解，如 [1] 所述，即由分块矩阵给出的 \(H - \lambda J\)

[  A   0   B ]             [ E   0   B ]
[ -Q  E^H -S ] - \lambda * [ 0  A^H  0 ]
[ S^H  0   R ]             [ 0 -B^H  0 ]

并使用 QZ 分解方法。

在此算法中，失败条件与乘积 \(U_2 U_1^{-1}\) 的对称性以及 \(U_1\) 的条件数有关。这里，\(U\) 是一个 2m 乘 m 的矩阵，包含张成稳定子空间的特征向量，具有 2m 行，并被划分为两个 m 行矩阵。更多详细信息请参见 [1] 和 [2]。

为了提高 QZ 分解的精度，该矩阵束会经过一个平衡步骤，其中 \(H\) 和 \(J\) 的行/列的绝对值之和（去除对角线元素后）按照 [3] 中给出的方法进行平衡。如果数据存在少量数值噪声，平衡可能会放大其影响，因此需要进行一些清理。

0.11.0 版本新增。

参考文献

[1] (1,2)

P. van Dooren , “A Generalized Eigenvalue Approach For Solving Riccati Equations.”, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol.2(2), DOI:10.1137/0902010

[2]

A.J. Laub, “A Schur Method for Solving Algebraic Riccati Equations.”, Massachusetts Institute of Technology. Laboratory for Information and Decision Systems. LIDS-R ; 859. 在线获取 : http://hdl.handle.net/1721.1/1301

[3]

P. Benner, “Symplectic Balancing of Hamiltonian Matrices”, 2001, SIAM J. Sci. Comput., 2001, Vol.22(5), DOI:10.1137/S1064827500367993

示例

给定 a、b、q 和 r，求解 x

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg as la
>>> a = np.array([[0, 1], [0, -1]])
>>> b = np.array([[1, 0], [2, 1]])
>>> q = np.array([[-4, -4], [-4, 7]])
>>> r = np.array([[9, 3], [3, 1]])
>>> x = la.solve_discrete_are(a, b, q, r)
>>> x
array([[-4., -4.],
       [-4.,  7.]])
>>> R = la.solve(r + b.T.dot(x).dot(b), b.T.dot(x).dot(a))
>>> np.allclose(a.T.dot(x).dot(a) - x - a.T.dot(x).dot(b).dot(R), -q)
True
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