solve_continuous_are#
- scipy.linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r, e=None, s=None, balanced=True)[源]#
求解连续时间代数 Riccati 方程 (CARE)。
CARE 定义为
\[X A + A^H X - X B R^{-1} B^H X + Q = 0\]解存在的限制是
\(A\) 在右半平面上的所有特征值都应该是可控的。
相关的哈密顿铅笔(参见注释)的特征值应与虚轴有足够远的距离。
此外,如果
e
或s
不精确为None
,则求解广义形式的 CARE\[E^HXA + A^HXE - (E^HXB + S) R^{-1} (B^HXE + S^H) + Q = 0\]当省略时,
e
假定为单位矩阵,s
假定为零矩阵,其大小分别与a
和b
兼容。文档中假定数组参数具有指定的“核心”形状。但是,此函数的数组参数可能在核心形状前附加额外的“批处理”维度。在这种情况下,数组被视为低维切片的批处理;详情请参见批处理线性运算。
- 参数:
- a(M, M) 数组类对象
方阵
- b(M, N) 数组类对象
输入
- q(M, M) 数组类对象
输入
- r(N, N) 数组类对象
非奇异方阵
- e(M, M) 数组类对象, 可选
非奇异方阵
- s(M, N) 数组类对象, 可选
输入
- balanced布尔值, 可选
指示是否对数据执行平衡步骤的布尔值。默认设置为 True。
- 返回:
- x(M, M) ndarray
连续时间代数 Riccati 方程的解。
- 引发:
- LinAlgError
对于无法分离铅笔的稳定子空间的情况。详见注释部分和参考文献。
另请参见
solve_discrete_are
求解离散时间代数 Riccati 方程
注释
该方程通过形成扩展哈密顿矩阵铅笔来求解,如[1]中所述,由分块矩阵给出的 \(H - \lambda J\)
[ A 0 B ] [ E 0 0 ] [-Q -A^H -S ] - \lambda * [ 0 E^H 0 ] [ S^H B^H R ] [ 0 0 0 ]
并使用 QZ 分解方法。
在此算法中,失败条件与乘积 \(U_2 U_1^{-1}\) 的对称性以及 \(U_1\) 的条件数相关。其中,\(U\) 是一个 2m 乘 m 的矩阵,它包含跨越稳定子空间的特征向量,具有 2m 行并分成两个 m 行矩阵。详情请参阅[1]和[2]。
为了提高 QZ 分解的精度,铅笔经过一个平衡步骤,其中 \(H\) 和 \(J\) 项的绝对值之和(在去除和的对角线项后)按照[3]中给出的方法进行平衡。
0.11.0 版本新增。
参考文献
[1] (1,2)P. van Dooren,《求解 Riccati 方程的广义特征值方法》,《SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing》,第2卷第2期,DOI:10.1137/0902010
[2]A.J. Laub,《求解代数 Riccati 方程的 Schur 方法》,马萨诸塞州理工学院。信息与决策系统实验室。LIDS-R;859。在线可获取:http://hdl.handle.net/1721.1/1301
[3]P. Benner,《哈密顿矩阵的辛平衡》,2001,SIAM J. Sci. Comput.,2001,第22卷第5期,DOI:10.1137/S1064827500367993
示例
给定 a, b, q, 和 r,求解 x
>>> import numpy as np >>> from scipy import linalg >>> a = np.array([[4, 3], [-4.5, -3.5]]) >>> b = np.array([[1], [-1]]) >>> q = np.array([[9, 6], [6, 4.]]) >>> r = 1 >>> x = linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r) >>> x array([[ 21.72792206, 14.48528137], [ 14.48528137, 9.65685425]]) >>> np.allclose(a.T.dot(x) + x.dot(a)-x.dot(b).dot(b.T).dot(x), -q) True