scipy.linalg.

solve_continuous_are#

scipy.linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r, e=None, s=None, balanced=True)[源代码]#

求解连续时间代数Riccati方程 (CARE)。

CARE 定义为

\[X A + A^H X - X B R^{-1} B^H X + Q = 0\]

存在解的限制条件是：

\(A\) 在右半平面的所有特征值都应该是可控的。

相关的哈密顿矩阵束（参见注释）应该具有充分远离虚轴的特征值。

此外，如果 e 或 s 不是精确的 None，则求解广义版本的 CARE

\[E^HXA + A^HXE - (E^HXB + S) R^{-1} (B^HXE + S^H) + Q = 0\]

当省略时，假设 e 为单位矩阵，s 为与 a 和 b 分别兼容大小的零矩阵。

参数:

a(M, M) 类数组: 方阵
b(M, N) 类数组: 输入
q(M, M) 类数组: 输入
r(N, N) 类数组: 非奇异方阵
e(M, M) 类数组，可选: 非奇异方阵
s(M, N) 类数组，可选: 输入
balancedbool，可选: 布尔值，指示是否对数据执行平衡步骤。默认设置为 True。

返回:

x(M, M) ndarray: 连续时间代数Riccati方程的解。

引发:

LinAlgError: 对于无法隔离矩阵束的稳定子空间的情况。有关详细信息，请参见“注释”部分和参考资料。

另请参见

solve_discrete_are: 求解离散时间代数Riccati方程

注释

该方程通过形成扩展的哈密顿矩阵束来求解，如 [1] 中所述， \(H - \lambda J\) 由分块矩阵给出

[ A    0    B ]             [ E   0    0 ]
[-Q  -A^H  -S ] - \lambda * [ 0  E^H   0 ]
[ S^H B^H   R ]             [ 0   0    0 ]

并使用 QZ 分解方法。

在此算法中，失败条件与乘积 \(U_2 U_1^{-1}\) 的对称性和 \(U_1\) 的条件数相关。此处，\(U\) 是一个 2m-by-m 矩阵，它保存跨越稳定子空间的特征向量，具有 2-m 行，并划分为两个 m 行矩阵。有关更多详细信息，请参见 [1] 和 [2]。

为了提高 QZ 分解的精度，矩阵束经过一个平衡步骤，其中 \(H\) 和 \(J\) 条目的绝对值之和（在删除总和的对角线条目后）按照 [3] 中给出的方法进行平衡。

在 0.11.0 版本中添加。

参考文献

[1] (1,2)

P. van Dooren，“求解Riccati方程的广义特征值方法”，《SIAM科学与统计计算杂志》，第2(2)卷，DOI:10.1137/0902010

[2]

A.J. Laub，“求解代数Riccati方程的舒尔方法”，麻省理工学院。信息和决策系统实验室。LIDS-R；859。在线提供：http://hdl.handle.net/1721.1/1301

[3]

P. Benner，“哈密顿矩阵的辛平衡”，2001，《SIAM J. Sci. Comput.》，2001，第22(5)卷，DOI:10.1137/S1064827500367993

示例

给定 a、b、q 和 r，求解 x

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> a = np.array([[4, 3], [-4.5, -3.5]])
>>> b = np.array([[1], [-1]])
>>> q = np.array([[9, 6], [6, 4.]])
>>> r = 1
>>> x = linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r)
>>> x
array([[ 21.72792206,  14.48528137],
       [ 14.48528137,   9.65685425]])
>>> np.allclose(a.T.dot(x) + x.dot(a)-x.dot(b).dot(b.T).dot(x), -q)
True