scipy.linalg.

qr#

scipy.linalg.qr(a, overwrite_a=False, lwork=None, mode='full', pivoting=False, check_finite=True)[source]#

计算矩阵的 QR 分解。

计算分解 A = Q R，其中 Q 是酉/正交矩阵，R 是上三角矩阵。

本文档假定数组参数具有指定的“核心”形状。但是，此函数的数组参数可能在核心形状之前附加额外的“批处理”维度。在这种情况下，该数组被视为低维切片的批处理；有关详细信息，请参阅批处理线性操作。

参数:

a(M, N) array_like: 待分解的矩阵
overwrite_a布尔值, 可选: 是否覆盖 a 中的数据（如果将 overwrite_a 设置为 True 以重用现有输入数据结构而不是创建新结构，可能会提高性能）。
lwork整型, 可选: 工作数组大小，lwork >= a.shape[1]。如果为 None 或 -1，则计算最佳大小。
mode{‘full’, ‘r’, ‘economic’, ‘raw’}, 可选: 确定要返回的信息：Q 和 R 都返回（‘full’，默认），只返回 R（‘r’），或者 Q 和 R 都返回但以经济尺寸计算（‘economic’，参见注释）。最后一个选项 ‘raw’（在 SciPy 0.11 中添加）使函数以 LAPACK 使用的内部格式返回两个矩阵 (Q, TAU)。
pivoting布尔值, 可选: 分解是否应包含枢轴以进行秩揭示 QR 分解。如果进行枢轴，则计算分解 A[:, P] = Q @ R，如上所述，但选择 P 使得 R 的对角线是非递增的。等效地，尽管效率较低，但可以通过置换单位矩阵的行或列（取决于它在方程中的使用位置）来显式形成一个明确的 P 矩阵。参见示例。
check_finite布尔值, 可选: 是否检查输入矩阵仅包含有限数。禁用此功能可能会提高性能，但如果输入包含无穷大或 NaN，可能会导致问题（崩溃、非终止）。

返回:

Q浮点型或复数 ndarray: 形状为 (M, M)，或在 mode='economic' 时为 (M, K)。如果 mode='r' 则不返回。如果 mode='raw' 则替换为元组 (Q, TAU)。
R浮点型或复数 ndarray: 形状为 (M, N)，或在 mode in ['economic', 'raw'] 时为 (K, N)。K = min(M, N)。
P整型 ndarray: 当 pivoting=True 时形状为 (N,)。当 pivoting=False 时不返回。

抛出:

LinAlgError: 如果分解失败则抛出

注释

这是 LAPACK 例程 dgeqrf、zgeqrf、dorgqr、zungqr、dgeqp3 和 zgeqp3 的接口。

如果 mode=economic，Q 和 R 的形状分别为 (M, K) 和 (K, N)，而不是 (M,M) 和 (M,N)，其中 K=min(M,N)。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.standard_normal((9, 6))

>>> q, r = linalg.qr(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(q, r))
True
>>> q.shape, r.shape
((9, 9), (9, 6))

>>> r2 = linalg.qr(a, mode='r')
>>> np.allclose(r, r2)
True

>>> q3, r3 = linalg.qr(a, mode='economic')
>>> q3.shape, r3.shape
((9, 6), (6, 6))

>>> q4, r4, p4 = linalg.qr(a, pivoting=True)
>>> d = np.abs(np.diag(r4))
>>> np.all(d[1:] <= d[:-1])
True
>>> np.allclose(a[:, p4], np.dot(q4, r4))
True
>>> P = np.eye(p4.size)[p4]
>>> np.allclose(a, np.dot(q4, r4) @ P)
True
>>> np.allclose(a @ P.T, np.dot(q4, r4))
True
>>> q4.shape, r4.shape, p4.shape
((9, 9), (9, 6), (6,))

>>> q5, r5, p5 = linalg.qr(a, mode='economic', pivoting=True)
>>> q5.shape, r5.shape, p5.shape
((9, 6), (6, 6), (6,))
>>> P = np.eye(6)[:, p5]
>>> np.allclose(a @ P, np.dot(q5, r5))
True