scipy.linalg.

polar#

scipy.linalg.polar(a, side='right')[源代码]#

计算极分解。

返回极分解的因子 [1] u 和 p，使得 a = up （如果 side 为 “right”）或者 a = pu （如果 side 为 “left”），其中 p 是半正定的。根据 a 的形状，u 的行或列是正交的。当 a 是方阵时， u 是方阵酉矩阵。当 a 不是方阵时，计算“规范极分解” [2]。

参数:

a(m, n) 类数组: 要分解的数组。
side{‘left’, ‘right’}, 可选: 确定是计算右极分解还是左极分解。如果 side 为“right”，则 a = up。如果 side 为“left”，则 a = pu。默认值为“right”。

返回:

u(m, n) ndarray: 如果 a 是方阵，则 u 是酉矩阵。如果 m > n，则 a 的列是正交的，如果 m < n，则 u 的行是正交的。
pndarray: p 是埃尔米特半正定矩阵。如果 a 是非奇异的，则 p 是正定的。 p 的形状是 (n, n) 或 (m, m)，取决于 side 分别是“right”还是“left”。

参考文献

[1]

R. A. Horn 和 C. R. Johnson，“矩阵分析”，剑桥大学出版社，1985 年。

[2]

N. J. Higham，“矩阵函数：理论与计算”，SIAM，2008 年。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import polar
>>> a = np.array([[1, -1], [2, 4]])
>>> u, p = polar(a)
>>> u
array([[ 0.85749293, -0.51449576],
       [ 0.51449576,  0.85749293]])
>>> p
array([[ 1.88648444,  1.2004901 ],
       [ 1.2004901 ,  3.94446746]])

一个 m < n 的非方阵示例

>>> b = np.array([[0.5, 1, 2], [1.5, 3, 4]])
>>> u, p = polar(b)
>>> u
array([[-0.21196618, -0.42393237,  0.88054056],
       [ 0.39378971,  0.78757942,  0.4739708 ]])
>>> p
array([[ 0.48470147,  0.96940295,  1.15122648],
       [ 0.96940295,  1.9388059 ,  2.30245295],
       [ 1.15122648,  2.30245295,  3.65696431]])
>>> u.dot(p)   # Verify the decomposition.
array([[ 0.5,  1. ,  2. ],
       [ 1.5,  3. ,  4. ]])
>>> u.dot(u.T)   # The rows of u are orthonormal.
array([[  1.00000000e+00,  -2.07353665e-17],
       [ -2.07353665e-17,   1.00000000e+00]])

另一个 m > n 的非方阵示例

>>> c = b.T
>>> u, p = polar(c)
>>> u
array([[-0.21196618,  0.39378971],
       [-0.42393237,  0.78757942],
       [ 0.88054056,  0.4739708 ]])
>>> p
array([[ 1.23116567,  1.93241587],
       [ 1.93241587,  4.84930602]])
>>> u.dot(p)   # Verify the decomposition.
array([[ 0.5,  1.5],
       [ 1. ,  3. ],
       [ 2. ,  4. ]])
>>> u.T.dot(u)  # The columns of u are orthonormal.
array([[  1.00000000e+00,  -1.26363763e-16],
       [ -1.26363763e-16,   1.00000000e+00]])