scipy.linalg.

lu#

scipy.linalg.lu(a, permute_l=False, overwrite_a=False, check_finite=True, p_indices=False)[源代码]#

计算具有部分主元的矩阵的 LU 分解。

分解满足

A = P @ L @ U

其中 P 是置换矩阵，L 是对角线元素为 1 的下三角矩阵，U 是上三角矩阵。如果 permute_l 设置为 True，则返回的 L 已被置换，因此满足 A = L @ U。

参数:

a(M, N) array_like: 要分解的数组
permute_lbool, 可选: 执行 P*L 乘法 (默认: 不置换)
overwrite_abool, 可选: 是否覆盖 a 中的数据（可能提高性能）
check_finitebool, 可选: 是否检查输入矩阵是否仅包含有限数字。禁用可能会提高性能，但如果输入包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题（崩溃、不终止）。
p_indicesbool, 可选: 如果 True，则置换信息将作为行索引返回。为了向后兼容，默认值为 False。

返回:

(如果 `permute_l` 为 ``False``)
p(…, M, M) ndarray: 根据 p_indices 返回置换数组或向量
l(…, M, K) ndarray: 对角线为单位的下三角或梯形数组。 K = min(M, N)
u(…, K, N) ndarray: 上三角或梯形数组
(如果 `permute_l` 为 ``True``)
pl(…, M, K) ndarray: 置换后的 L 矩阵。 K = min(M, N)
u(…, K, N) ndarray: 上三角或梯形数组

注意

置换矩阵的开销很大，因为它们只是 L 的行重新排序，因此如果需要置换，强烈建议改用索引。二维情况下的关系可以简化为 A = L[P, :] @ U。在更高维度中，最好使用 permute_l 来避免复杂的索引技巧。

在二维情况下，如果出于某种原因仍然需要置换矩阵，但已经有了索引，则可以通过 np.eye(M)[P, :] 来构造它。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import lu
>>> A = np.array([[2, 5, 8, 7], [5, 2, 2, 8], [7, 5, 6, 6], [5, 4, 4, 8]])
>>> p, l, u = lu(A)
>>> np.allclose(A, p @ l @ u)
True
>>> p  # Permutation matrix
array([[0., 1., 0., 0.],  # Row index 1
       [0., 0., 0., 1.],  # Row index 3
       [1., 0., 0., 0.],  # Row index 0
       [0., 0., 1., 0.]]) # Row index 2
>>> p, _, _ = lu(A, p_indices=True)
>>> p
array([1, 3, 0, 2], dtype=int32)  # as given by row indices above
>>> np.allclose(A, l[p, :] @ u)
True

我们也可以使用 nd-arrays，例如，一个 4D 数组的演示

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> A = rng.uniform(low=-4, high=4, size=[3, 2, 4, 8])
>>> p, l, u = lu(A)
>>> p.shape, l.shape, u.shape
((3, 2, 4, 4), (3, 2, 4, 4), (3, 2, 4, 8))
>>> np.allclose(A, p @ l @ u)
True
>>> PL, U = lu(A, permute_l=True)
>>> np.allclose(A, PL @ U)
True