scipy.linalg.

lu_factor#

scipy.linalg.lu_factor(a, overwrite_a=False, check_finite=True)[源代码]#

计算矩阵的带主元LU分解。

分解形式为

A = P L U

其中 P 是置换矩阵，L 是对角线元素为单位元的下三角矩阵，U 是上三角矩阵。

本文档假定数组参数具有指定的“核心”形状。但是，此函数的数组参数可能在核心形状前添加额外的“批次”维度。在这种情况下，数组被视为低维切片的批次；详情请参阅批处理线性运算。

参数:

a(M, N) array_like: 待分解矩阵
overwrite_a布尔值, 可选: 是否覆盖 A 中的数据（可能会提高性能）
check_finite布尔值, 可选: 是否检查输入矩阵仅包含有限数。禁用此项可能会提高性能，但如果输入包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题（崩溃、无法终止）。

返回:

lu(M, N) ndarray: 矩阵，其上三角部分包含 U，下三角部分包含 L。L 的单位对角线元素不存储。
piv(K,) ndarray: 表示置换矩阵 P 的主元索引：矩阵的第 i 行与第 piv[i] 行进行了交换。形状为 (K,)，其中 K = min(M, N)。

另请参阅

lu: 以更友好的格式提供 LU 分解
lu_solve: 使用矩阵的 LU 分解求解方程组

说明

这是 LAPACK 中 *GETRF 例程的包装器。与 lu 不同，它将 L 和 U 因子输出到单个数组中，并返回主元索引而不是置换矩阵。

虽然底层的 *GETRF 例程返回基于 1 的主元索引，但 lu_factor 返回的 piv 数组包含基于 0 的索引。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import lu_factor
>>> A = np.array([[2, 5, 8, 7], [5, 2, 2, 8], [7, 5, 6, 6], [5, 4, 4, 8]])
>>> lu, piv = lu_factor(A)
>>> piv
array([2, 2, 3, 3], dtype=int32)

将 LAPACK 的 piv 数组转换为 NumPy 索引并测试置换

>>> def pivot_to_permutation(piv):
...     perm = np.arange(len(piv))
...     for i in range(len(piv)):
...         perm[i], perm[piv[i]] = perm[piv[i]], perm[i]
...     return perm
...
>>> p_inv = pivot_to_permutation(piv)
>>> p_inv
array([2, 0, 3, 1])
>>> L, U = np.tril(lu, k=-1) + np.eye(4), np.triu(lu)
>>> np.allclose(A[p_inv] - L @ U, np.zeros((4, 4)))
True

P L U 中的 P 矩阵由逆置换定义，可以使用 argsort 恢复

>>> p = np.argsort(p_inv)
>>> p
array([1, 3, 0, 2])
>>> np.allclose(A - L[p] @ U, np.zeros((4, 4)))
True

或者

>>> P = np.eye(4)[p]
>>> np.allclose(A - P @ L @ U, np.zeros((4, 4)))
True