scipy.linalg.

lu_factor#

scipy.linalg.lu_factor(a, overwrite_a=False, check_finite=True)[source]#

计算矩阵的带 pivoting 的 LU 分解。

分解为

A = P L U

其中 P 是一个置换矩阵，L 是带单位对角线元素的下三角矩阵，U 是上三角矩阵。

参数：:

a(M, N) array_like: 要分解的矩阵
overwrite_abool, 可选: 是否覆盖 A 中的数据（可能会提高性能）
check_finitebool, 可选: 是否检查输入矩阵是否只包含有限数字。禁用可能会提高性能，但如果输入包含无穷大或 NaN，可能会导致问题（崩溃，不终止）。

返回值：:

lu(M, N) ndarray: 包含其上三角中的 U 和其下三角中的 L 的矩阵。L 的单位对角线元素不会存储。
piv(K,) ndarray: 表示置换矩阵 P 的 pivot 索引：矩阵的第 i 行与第 piv[i] 行交换。形状为 (K,)，其中 K = min(M, N)。

参见

lu: 以更用户友好的格式提供 lu 分解
lu_solve: 使用矩阵的 LU 分解来求解方程组

备注

这是对 LAPACK 中的 *GETRF 例程的包装。与 lu 不同，它将 L 和 U 因子输出到单个数组中，并返回 pivot 索引而不是置换矩阵。

虽然底层的 *GETRF 例程返回 1 为基的 pivot 索引，但 lu_factor 返回的 piv 数组包含 0 为基的索引。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import lu_factor
>>> A = np.array([[2, 5, 8, 7], [5, 2, 2, 8], [7, 5, 6, 6], [5, 4, 4, 8]])
>>> lu, piv = lu_factor(A)
>>> piv
array([2, 2, 3, 3], dtype=int32)

将 LAPACK 的 piv 数组转换为 NumPy 索引并测试置换

>>> def pivot_to_permutation(piv):
...     perm = np.arange(len(piv))
...     for i in range(len(piv)):
...         perm[i], perm[piv[i]] = perm[piv[i]], perm[i]
...     return perm
...
>>> p_inv = pivot_to_permutation(piv)
>>> p_inv
array([2, 0, 3, 1])
>>> L, U = np.tril(lu, k=-1) + np.eye(4), np.triu(lu)
>>> np.allclose(A[p_inv] - L @ U, np.zeros((4, 4)))
True

P L U 中的 P 矩阵由逆置换定义，可以使用 argsort 恢复

>>> p = np.argsort(p_inv)
>>> p
array([1, 3, 0, 2])
>>> np.allclose(A - L[p] @ U, np.zeros((4, 4)))
True

或者

>>> P = np.eye(4)[p]
>>> np.allclose(A - P @ L @ U, np.zeros((4, 4)))
True