概率分布#

SciPy 有两种处理概率分布的基础设施。本教程适用于较旧的一种，它有许多预定义的分布；然而，新的基础设施可以与其中大多数一起使用，并且具有许多优点。有关新基础设施的信息，请参阅 随机变量转换指南。

已实现两个通用分布类，用于封装连续随机变量和离散随机变量。已使用这些类实现了 100 多个连续随机变量（RV）和 20 个离散随机变量。有关各个分布的数学参考信息，请参阅连续统计分布和离散统计分布。

所有统计函数都位于子包scipy.stats中，并且可以通过 stats 子包的 docstring 获得这些函数和可用随机变量的相当完整的列表。

在下面的讨论中，我们主要关注连续 RV。几乎所有内容也适用于离散变量，但我们在此指出一些差异：离散分布的特定点。

在下面的代码示例中，我们假设scipy.stats包被导入为

>>> from scipy import stats

在某些情况下，我们假设单个对象被导入为

>>> from scipy.stats import norm

所有分布

获取帮助#

首先，所有分布都附带帮助函数。要获取一些基本信息，我们打印相关的 docstring：print(stats.norm.__doc__)。

要查找支持，即分布的上限和下限，请调用

>>> print('bounds of distribution lower: %s, upper: %s' % norm.support())
bounds of distribution lower: -inf, upper: inf

我们可以使用dir(norm)列出分布的所有方法和属性。事实证明，有些方法是私有的，尽管它们没有这样命名（它们的名称不以领先的下划线开头），例如veccdf，仅可用于内部计算（当尝试使用它们时，这些方法会发出警告，并且将在某个时候被移除）。

为了获得真正的主要方法，我们列出了冻结分布的方法。（我们将在下面解释冻结分布的含义）。

>>> rv = norm()
>>> dir(rv)  # reformatted
['__class__', '__delattr__', '__dict__', '__dir__', '__doc__', '__eq__',
 '__format__', '__ge__', '__getattribute__', '__gt__', '__hash__',
 '__init__', '__le__', '__lt__', '__module__', '__ne__', '__new__',
 '__reduce__', '__reduce_ex__', '__repr__', '__setattr__', '__sizeof__',
 '__str__', '__subclasshook__', '__weakref__', 'a', 'args', 'b', 'cdf',
 'dist', 'entropy', 'expect', 'interval', 'isf', 'kwds', 'logcdf',
 'logpdf', 'logpmf', 'logsf', 'mean', 'median', 'moment', 'pdf', 'pmf',
 'ppf', 'random_state', 'rvs', 'sf', 'stats', 'std', 'var']

最后，我们可以通过内省获取可用分布的列表

>>> dist_continu = [d for d in dir(stats) if
...                 isinstance(getattr(stats, d), stats.rv_continuous)]
>>> dist_discrete = [d for d in dir(stats) if
...                  isinstance(getattr(stats, d), stats.rv_discrete)]
>>> print('number of continuous distributions: %d' % len(dist_continu))
number of continuous distributions: 109
>>> print('number of discrete distributions:   %d' % len(dist_discrete))
number of discrete distributions:   21

常用方法#

连续 RV 的主要公共方法是

  • rvs: 随机变量

  • pdf: 概率密度函数

  • cdf: 累积分布函数

  • sf: 生存函数 (1-CDF)

  • ppf: 百分点函数 (CDF 的逆)

  • isf: 逆生存函数 (SF 的逆)

  • stats: 返回均值、方差、（Fisher）偏度或（Fisher）峰度

  • moment: 分布的非中心矩

我们以正态 RV 为例。

>>> norm.cdf(0)
0.5

要在多个点计算cdf，我们可以传递一个列表或一个 numpy 数组。

>>> norm.cdf([-1., 0, 1])
array([ 0.15865525,  0.5,  0.84134475])
>>> import numpy as np
>>> norm.cdf(np.array([-1., 0, 1]))
array([ 0.15865525,  0.5,  0.84134475])

因此，基本方法，如pdf、cdf等，都是向量化的。

也支持其他常用的有用方法

>>> norm.mean(), norm.std(), norm.var()
(0.0, 1.0, 1.0)
>>> norm.stats(moments="mv")
(array(0.0), array(1.0))

要找到分布的中位数，我们可以使用百分点函数ppf，它是cdf的逆函数

>>> norm.ppf(0.5)
0.0

要生成一系列随机变量，请使用size关键字参数

>>> norm.rvs(size=3)
array([-0.35687759,  1.34347647, -0.11710531])   # random

不要以为norm.rvs(5)会生成 5 个变量

>>> norm.rvs(5)
5.471435163732493  # random

这里，不带关键字的5被解释为第一个可能的关键字参数loc，它是所有连续分布所接受的一对关键字参数中的第一个。这引出了下一小节的主题。

随机数生成#

随机数的抽取依赖于numpy.random包中的生成器。在上述示例中，随机数的特定流在不同运行之间不可复现。为了实现可复现性，您可以显式地为随机数生成器播种。在 NumPy 中，生成器是numpy.random.Generator的一个实例。以下是创建生成器的规范方法

>>> from numpy.random import default_rng
>>> rng = default_rng()

固定种子可以像这样完成

>>> # do NOT copy this value
>>> rng = default_rng(301439351238479871608357552876690613766)

警告

不要使用此数字或常用值（如 0）。使用少量种子实例化更大的状态空间意味着有些初始状态无法达到。如果每个人都使用此类值，这会产生一些偏差。获得种子的好方法是使用numpy.random.SeedSequence

>>> from numpy.random import SeedSequence
>>> print(SeedSequence().entropy)
301439351238479871608357552876690613766  # random

分布中的random_state参数接受numpy.random.Generator类的实例，或一个整数，然后该整数用于为内部Generator对象播种

>>> norm.rvs(size=5, random_state=rng)
array([ 0.47143516, -1.19097569,  1.43270697, -0.3126519 , -0.72058873])  # random

欲了解更多信息，请参阅NumPy 文档。

要了解有关 SciPy 中实现的随机数采样器的更多信息，请参阅非均匀随机数采样教程和准蒙特卡洛教程

平移和缩放#

所有连续分布都接受loc和scale作为关键字参数来调整分布的位置和尺度，例如，对于标准正态分布，位置是均值，尺度是标准差。

>>> norm.stats(loc=3, scale=4, moments="mv")
(array(3.0), array(16.0))

在许多情况下，随机变量X的标准化分布通过变换(X - loc) / scale获得。默认值为loc = 0和scale = 1。

明智地使用loc和scale可以帮助以多种方式修改标准分布。为了进一步说明缩放，均值为\(1/\lambda\)的指数分布 RV 的cdf由以下给出

\[F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)\]

通过应用上述缩放规则，可以看出，通过将scale  = 1./lambda，我们可以得到适当的尺度。

>>> from scipy.stats import expon
>>> expon.mean(scale=3.)
3.0

注意

需要形状参数的分布可能需要比简单应用loc和/或scale更多的操作才能达到期望的形式。例如，给定长度为\(R\)的常量向量，且每个分量都受到独立 N(0, \(\sigma^2\)) 偏差扰动的 2-D 向量长度分布为 rice(\(R/\sigma\), scale= \(\sigma\))。第一个参数是一个形状参数，需要与\(x\)一起缩放。

均匀分布也很有趣

>>> from scipy.stats import uniform
>>> uniform.cdf([0, 1, 2, 3, 4, 5], loc=1, scale=4)
array([ 0.  ,  0.  ,  0.25,  0.5 ,  0.75,  1.  ])

最后，回顾上一段，我们剩下norm.rvs(5)的含义问题。事实证明，像这样调用分布时，第一个参数，即 5，被传递以设置loc参数。我们来看看

>>> np.mean(norm.rvs(5, size=500))
5.0098355106969992  # random

因此，解释上一节示例的输出：norm.rvs(5)生成一个均值loc=5的单个正态分布随机变量，因为默认的size=1。

我们建议您明确设置loc和scale参数，通过将值作为关键字而不是参数传递。当调用给定 RV 的多个方法时，通过使用冻结分布的技术（如下所述），可以最大限度地减少重复。

形状参数#

虽然一般的连续随机变量可以通过loc和scale参数进行平移和缩放，但某些分布需要额外的形状参数。例如，密度为

\[\gamma(x, a) = \frac{\lambda (\lambda x)^{a-1}}{\Gamma(a)} e^{-\lambda x}\;,\]

的伽马分布需要形状参数\(a\)。请注意，通过将scale关键字设置为\(1/\lambda\)即可获得\(\lambda\)。

我们来检查伽马分布的形状参数的数量和名称。（我们从上面知道它应该是 1。）

>>> from scipy.stats import gamma
>>> gamma.numargs
1
>>> gamma.shapes
'a'

现在，我们将形状变量的值设置为 1 以获得指数分布，这样我们就可以轻松比较我们是否得到了预期的结果。

>>> gamma(1, scale=2.).stats(moments="mv")
(array(2.0), array(4.0))

请注意，我们也可以将形状参数指定为关键字

>>> gamma(a=1, scale=2.).stats(moments="mv")
(array(2.0), array(4.0))

冻结分布#

一遍又一遍地传递loc和scale关键字可能会变得相当麻烦。冻结 RV 的概念用于解决此类问题。

>>> rv = gamma(1, scale=2.)

通过使用rv，我们不再需要包含比例或形状参数。因此，分布可以通过两种方式使用，要么将所有分布参数传递给每个方法调用（如我们之前所做），要么为分布实例冻结参数。我们来验证一下

>>> rv.mean(), rv.std()
(2.0, 2.0)

这确实是我们应该得到的结果。

广播#

基本方法pdf等满足通常的 numpy 广播规则。例如，我们可以计算 t 分布上尾在不同概率和自由度下的临界值。

>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [[10], [11]])
array([[ 1.37218364,  1.81246112,  2.76376946],
       [ 1.36343032,  1.79588482,  2.71807918]])

这里，第一行包含10个自由度下的临界值，第二行包含11个自由度（d.o.f.）下的临界值。因此，广播规则给出了两次调用isf的相同结果

>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 10)
array([ 1.37218364,  1.81246112,  2.76376946])
>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 11)
array([ 1.36343032,  1.79588482,  2.71807918])

如果概率数组，即[0.1, 0.05, 0.01]和自由度数组，即[10, 11, 12]具有相同的数组形状，则使用元素匹配。例如，我们可以通过调用以下函数获得 10 个自由度下的 10% 尾部、11 个自由度下的 5% 尾部和 12 个自由度下的 1% 尾部

>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [10, 11, 12])
array([ 1.37218364,  1.79588482,  2.68099799])

离散分布的特定点#

离散分布的基本方法与连续分布基本相同。然而，pdf被概率质量函数pmf取代，没有可用的估计方法（如拟合），并且scale不是有效的关键字参数。位置参数（关键字loc）仍然可以用于平移分布。

cdf 的计算需要一些额外的注意。在连续分布的情况下，累积分布函数在大多数标准情况下，在边界 (a,b) 内严格单调递增，因此具有唯一的逆。然而，离散分布的 cdf 是一个阶梯函数，因此逆 cdf，即百分点函数，需要一个不同的定义

ppf(q) = min{x : cdf(x) >= q, x integer}

欲了解更多信息，请参阅此处的文档。

我们可以以超几何分布为例

>>> from scipy.stats import hypergeom
>>> [M, n, N] = [20, 7, 12]

如果我们使用 cdf 在一些整数点上，然后用这些 cdf 值评估 ppf，我们会得到原始整数，例如

>>> x = np.arange(4) * 2
>>> x
array([0, 2, 4, 6])
>>> prb = hypergeom.cdf(x, M, n, N)
>>> prb
array([  1.03199174e-04,   5.21155831e-02,   6.08359133e-01,
         9.89783282e-01])
>>> hypergeom.ppf(prb, M, n, N)
array([ 0.,  2.,  4.,  6.])

如果我们使用的值不在 cdf 阶梯函数的拐点处，我们会得到下一个更高的整数

>>> hypergeom.ppf(prb + 1e-8, M, n, N)
array([ 1.,  3.,  5.,  7.])
>>> hypergeom.ppf(prb - 1e-8, M, n, N)
array([ 0.,  2.,  4.,  6.])

拟合分布#

未冻结分布的主要附加方法与分布参数的估计有关

  • fit: 分布参数的最大似然估计，包括位置

    和尺度

  • fit_loc_scale: 在给定形状参数时估计位置和尺度

  • nnlf: 负对数似然函数

  • expect: 计算函数对 pdf 或 pmf 的期望

性能问题和注意事项#

各个方法的速度性能因分布和方法而异。方法的结果通过两种方式之一获得：显式计算，或独立于特定分布的通用算法。

一方面，显式计算要求该方法是直接为给定分布指定的，无论是通过解析公式还是通过scipy.special或numpy.random（用于rvs）中的特殊函数。这些通常是相对较快的计算。

另一方面，如果分布没有指定任何显式计算，则使用通用方法。要定义分布，只需要 pdf 或 cdf 之一；所有其他方法都可以使用数值积分和求根导出。然而，这些间接方法可能非常慢。例如，rgh = stats.gausshyper.rvs(0.5, 2, 2, 2, size=100)以一种非常间接的方式创建随机变量，在我的电脑上，100 个随机变量大约需要 19 秒，而来自标准正态分布或 t 分布的一百万个随机变量只需要一秒多一点。

剩余问题#

scipy.stats中的分布最近得到了纠正和改进，并获得了相当大的测试套件；然而，仍然存在一些问题

  • 这些分布已在某些参数范围内进行测试；但是，在某些边界范围内，可能仍存在一些不正确的结果。

  • fit中的最大似然估计不适用于所有分布的默认起始参数，用户需要提供良好的起始参数。此外，对于某些分布，使用最大似然估计器本身可能不是最佳选择。

构建特定分布#

接下来的示例展示了如何构建自己的分布。更多示例展示了分布的使用和一些统计测试。

创建连续分布，即子类化rv_continuous#

创建连续分布相当简单。

>>> from scipy import stats
>>> class deterministic_gen(stats.rv_continuous):
...     def _cdf(self, x):
...         return np.where(x < 0, 0., 1.)
...     def _stats(self):
...         return 0., 0., 0., 0.

>>> deterministic = deterministic_gen(name="deterministic")
>>> deterministic.cdf(np.arange(-3, 3, 0.5))
array([ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.])

有趣的是，pdf现在会自动计算

>>> deterministic.pdf(np.arange(-3, 3, 0.5))
array([  0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00,
         0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00,
         5.83333333e+04,   4.16333634e-12,   4.16333634e-12,
         4.16333634e-12,   4.16333634e-12,   4.16333634e-12])

请注意性能问题和注意事项中提及的性能问题。未指定通用方法的计算可能会变得非常缓慢，因为只调用通用方法，而这些方法本质上无法使用有关分布的任何特定信息。因此，作为一个警示示例

>>> from scipy.integrate import quad
>>> quad(deterministic.pdf, -1e-1, 1e-1)
(4.163336342344337e-13, 0.0)

但这不正确：该 pdf 的积分应为 1。我们把积分区间缩小一点

>>> quad(deterministic.pdf, -1e-3, 1e-3)  # warning removed
(1.000076872229173, 0.0010625571718182458)

这看起来好多了。然而，问题源于类定义中未指定确定性分布的 pdf。

子类化rv_discrete#

在下文中，我们使用stats.rv_discrete来生成一个离散分布，该分布的概率与围绕整数居中的区间的截断正态分布的概率相同。

一般信息

来自 rv_discrete 的文档字符串，help(stats.rv_discrete)，

“您可以通过将序列（xk，pk）的元组（通过 values= 关键字）传递给 rv_discrete 初始化方法来构造任意离散 rv，该元组仅描述以非零概率（pk）出现的值 X（xk）。”

此外，这种方法还需要满足以下一些要求

  • 关键字name是必需的。

  • 分布的支持点 xk 必须是整数。

  • 需要指定有效位数（小数）。

事实上，如果最后两个要求不满足，可能会引发异常或导致结果不正确。

一个例子

我们开始工作。首先

>>> npoints = 20   # number of integer support points of the distribution minus 1
>>> npointsh = npoints // 2
>>> npointsf = float(npoints)
>>> nbound = 4   # bounds for the truncated normal
>>> normbound = (1+1/npointsf) * nbound   # actual bounds of truncated normal
>>> grid = np.arange(-npointsh, npointsh+2, 1)   # integer grid
>>> gridlimitsnorm = (grid-0.5) / npointsh * nbound   # bin limits for the truncnorm
>>> gridlimits = grid - 0.5   # used later in the analysis
>>> grid = grid[:-1]
>>> probs = np.diff(stats.truncnorm.cdf(gridlimitsnorm, -normbound, normbound))
>>> gridint = grid

最后，我们可以子类化rv_discrete

>>> normdiscrete = stats.rv_discrete(values=(gridint,
...              np.round(probs, decimals=7)), name='normdiscrete')

现在我们已经定义了分布，我们可以访问离散分布的所有常用方法。

>>> print('mean = %6.4f, variance = %6.4f, skew = %6.4f, kurtosis = %6.4f' %
...       normdiscrete.stats(moments='mvsk'))
mean = -0.0000, variance = 6.3302, skew = 0.0000, kurtosis = -0.0076

>>> nd_std = np.sqrt(normdiscrete.stats(moments='v'))

测试实现

我们生成一个随机样本，并将观测频率与概率进行比较。

>>> n_sample = 500
>>> rvs = normdiscrete.rvs(size=n_sample)
>>> f, l = np.histogram(rvs, bins=gridlimits)
>>> sfreq = np.vstack([gridint, f, probs*n_sample]).T
>>> print(sfreq)
[[-1.00000000e+01  0.00000000e+00  2.95019349e-02]  # random
 [-9.00000000e+00  0.00000000e+00  1.32294142e-01]
 [-8.00000000e+00  0.00000000e+00  5.06497902e-01]
 [-7.00000000e+00  2.00000000e+00  1.65568919e+00]
 [-6.00000000e+00  1.00000000e+00  4.62125309e+00]
 [-5.00000000e+00  9.00000000e+00  1.10137298e+01]
 [-4.00000000e+00  2.60000000e+01  2.24137683e+01]
 [-3.00000000e+00  3.70000000e+01  3.89503370e+01]
 [-2.00000000e+00  5.10000000e+01  5.78004747e+01]
 [-1.00000000e+00  7.10000000e+01  7.32455414e+01]
 [ 0.00000000e+00  7.40000000e+01  7.92618251e+01]
 [ 1.00000000e+00  8.90000000e+01  7.32455414e+01]
 [ 2.00000000e+00  5.50000000e+01  5.78004747e+01]
 [ 3.00000000e+00  5.00000000e+01  3.89503370e+01]
 [ 4.00000000e+00  1.70000000e+01  2.24137683e+01]
 [ 5.00000000e+00  1.10000000e+01  1.10137298e+01]
 [ 6.00000000e+00  4.00000000e+00  4.62125309e+00]
 [ 7.00000000e+00  3.00000000e+00  1.65568919e+00]
 [ 8.00000000e+00  0.00000000e+00  5.06497902e-01]
 [ 9.00000000e+00  0.00000000e+00  1.32294142e-01]
 [ 1.00000000e+01  0.00000000e+00  2.95019349e-02]]
"An X-Y histogram plot showing the distribution of random variates. A blue trace shows a normal bell curve. A blue bar chart perfectly approximates the curve showing the true distribution. A red bar chart representing the sample is well described by the blue trace but not exact."
"An X-Y histogram plot showing the cumulative distribution of random variates. A blue trace shows a CDF for a typical normal distribution. A blue bar chart perfectly approximates the curve showing the true distribution. A red bar chart representing the sample is well described by the blue trace but not exact."

接下来，我们可以使用卡方检验scipy.stats.chisquare来检验样本是否符合我们的正态-离散分布的零假设。

该测试要求每个 bin 中有最小数量的观测值。我们将尾部 bin 合并到更大的 bin 中，以便它们包含足够的观测值。

>>> f2 = np.hstack([f[:5].sum(), f[5:-5], f[-5:].sum()])
>>> p2 = np.hstack([probs[:5].sum(), probs[5:-5], probs[-5:].sum()])
>>> ch2, pval = stats.chisquare(f2, p2*n_sample)

>>> print('chisquare for normdiscrete: chi2 = %6.3f pvalue = %6.4f' % (ch2, pval))
chisquare for normdiscrete: chi2 = 12.466 pvalue = 0.4090  # random

从概念上讲，检验统计量chi2对观测频率与其在零假设下的预期频率之间的偏差敏感。p 值是抽取来自假设分布的样本，其产生的统计量值比我们观测到的值更极端的概率。我们的统计量值并不高；事实上，如果我们从由p2定义的离散分布中抽取相同大小的样本，统计量高于 12.466 的可能性为 40.9%。因此，该检验几乎没有证据反对样本来自我们的正态-离散分布的零假设。