Ctrl+K
scipy.stats.sampling.

NumericalInverseHermite#

class scipy.stats.sampling.NumericalInverseHermite(dist, *, domain=None, order=3, u_resolution=1e-12, construction_points=None, random_state=None)#

基于埃尔米特插值的 CDF (HINV) 数值反演。

HINV 是数值反演的一种变体，其中使用埃尔米特插值逼近逆 CDF，即，将区间 [0,1] 分割成若干个区间，并且在每个区间中，逆 CDF 通过使用 CDF 和 PDF 在区间边界的值构造的多项式来逼近。这使得可以通过分割特定区间来提高精度，而无需在未受影响的区间中进行重新计算。实现了三种类型的样条：线性、三次和五次插值。对于线性插值，仅需要 CDF。三次插值还需要 PDF，而五次插值需要 PDF 及其导数。

这些样条必须在设置步骤中计算。但是，它仅适用于具有有界域的分布；对于具有无界域的分布，尾部被截断，以使尾部区域的概率与给定的 u 分辨率相比很小。

该方法不是精确的，因为它仅生成近似分布的随机变量。尽管如此，“u 方向”上的最大数值误差（即 |U - CDF(X)|，其中 X 是对应于分位数 U 的近似百分位数，即 X = approx_ppf(U)）可以设置为所需的分辨率（在机器精度内）。请注意，u 分辨率的非常小的值是可能的，但可能会增加设置步骤的成本。

参数:
dist对象

具有 cdf 和可选的 pdf 和 dpdf 方法的类的实例。

  • cdf: 分布的 CDF。CDF 的签名应为： def cdf(self, x: float) -> float。即，CDF 应该接受 Python float 并返回 Python float。

  • pdf: 分布的 PDF。当 order=1 时，此方法是可选的。必须具有与 CDF 相同的签名。

  • dpdf: PDF 相对于变量（即 x）的导数。当 order=1 或 order=3 时，此方法是可选的。必须具有与 CDF 相同的签名。

domain长度为 2 的列表或元组，可选

分布的支持。默认为 None。当为 None 时

  • 如果分布对象 dist 提供了 support 方法，则它用于设置分布的域。

  • 否则，支持被假定为 \((-\infty, \infty)\)。

orderint，默认值：3

设置埃尔米特插值的阶数。有效阶数为 1、3 和 5。有效阶数为 1、3 和 5。请注意，大于 1 的阶数需要分布的密度，而大于 3 的阶数甚至需要密度的导数。对于大多数分布，使用阶数 1 会导致大量的间隔，因此不建议使用。如果 u 方向上的最大误差非常小（例如小于 1.e-10），则建议使用阶数 5，因为它会导致更少的设计点，只要没有极点或重尾即可。

u_resolutionfloat，默认值：1e-12

设置最大允许的 u 误差。请注意，大多数均匀随机数源的分辨率为 2-32= 2.3e-10。因此，1.e-10 的值会导致一种可以称为精确的反演算法。对于大多数模拟，最大误差的稍大值也足够了。默认为 1e-12。

construction_pointsarray_like，可选

设置埃尔米特插值的起始构造点（节点）。由于仅在设置中估计了可能的最大误差，因此可能有必要设置一些特殊的设计点来计算埃尔米特插值，以保证最大 u 误差不会大于所需值。此类点是密度不可微或具有局部极值的点。

random_state{None, int, numpy.random.Generator,

NumPy 随机数生成器或用于生成均匀随机数流的底层 NumPy 随机数生成器的种子。如果 random_state 为 None（或 np.random），则使用 numpy.random.RandomState 单例。如果 random_state 是一个整数，则使用一个新的 RandomState 实例，并使用 random_state 作为种子。如果 random_state 已经是一个 Generator 或 RandomState 实例，则使用该实例。

注意

NumericalInverseHermite 使用埃尔米特样条逼近连续统计分布的 CDF 的逆。埃尔米特样条的阶数可以通过传递 order 参数来指定。

如 [1] 中所述，它首先在分布支持内的分位数网格 x 处评估分布的 PDF 和 CDF。它使用结果来拟合埃尔米特样条 H，使得 H(p) == x，其中 p 是与分位数 x 相对应的百分位数数组。因此，样条在百分位数 p 处以机器精度逼近分布 CDF 的逆，但通常，样条在百分位数点之间的中点处不会那么精确

p_mid = (p[:-1] + p[1:])/2

因此，根据需要细化分位数网格以减小最大“u 误差”

u_error = np.max(np.abs(dist.cdf(H(p_mid)) - p_mid))

低于指定的容差 u_resolution。当达到所需的容差或下一次细化后的网格间隔数可能超过允许的最大间隔数（即 100000）时，细化停止。

参考

[1]

Hörmann, Wolfgang, 和 Josef Leydold。“通过快速数值反演生成连续随机变量。” ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation (TOMACS) 13.4 (2003): 347-362。

[2]

UNU.RAN 参考手册，第 5.3.5 节，“HINV - 基于埃尔米特插值的 CDF 反演”，https://statmath.wu.ac.at/software/unuran/doc/unuran.html#HINV

示例

>>> from scipy.stats.sampling import NumericalInverseHermite
>>> from scipy.stats import norm, genexpon
>>> from scipy.special import ndtr
>>> import numpy as np

要创建从标准正态分布中采样的生成器，请执行以下操作

>>> class StandardNormal:
...     def pdf(self, x):
...        return 1/np.sqrt(2*np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)
...     def cdf(self, x):
...        return ndtr(x)
...
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, random_state=urng)

NumericalInverseHermite 具有逼近分布 PPF 的方法。

>>> rng = NumericalInverseHermite(dist)
>>> p = np.linspace(0.01, 0.99, 99) # percentiles from 1% to 99%
>>> np.allclose(rng.ppf(p), norm.ppf(p))
True

根据分布的随机采样方法的实现，在给定相同随机状态的情况下，生成的随机变量可能几乎相同。

>>> dist = genexpon(9, 16, 3)
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist)
>>> # `seed` ensures identical random streams are used by each `rvs` method
>>> seed = 500072020
>>> rvs1 = dist.rvs(size=100, random_state=np.random.default_rng(seed))
>>> rvs2 = rng.rvs(size=100, random_state=np.random.default_rng(seed))
>>> np.allclose(rvs1, rvs2)
True

为了检查随机变量是否紧密遵循给定的分布，我们可以查看其直方图

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> dist = StandardNormal()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist)
>>> rvs = rng.rvs(10000)
>>> x = np.linspace(rvs.min()-0.1, rvs.max()+0.1, 1000)
>>> fx = norm.pdf(x)
>>> plt.plot(x, fx, 'r-', lw=2, label='true distribution')
>>> plt.hist(rvs, bins=20, density=True, alpha=0.8, label='random variates')
>>> plt.xlabel('x')
>>> plt.ylabel('PDF(x)')
>>> plt.title('Numerical Inverse Hermite Samples')
>>> plt.legend()
>>> plt.show()
../../_images/scipy-stats-sampling-NumericalInverseHermite-1_00_00.png

给定 PDF 相对于变量（即 x）的导数，我们可以通过传递 order 参数使用五次埃尔米特插值来逼近 PPF

>>> class StandardNormal:
...     def pdf(self, x):
...        return 1/np.sqrt(2*np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)
...     def dpdf(self, x):
...        return -1/np.sqrt(2*np.pi) * x * np.exp(-x**2 / 2)
...     def cdf(self, x):
...        return ndtr(x)
...
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, order=5, random_state=urng)

较高的阶数会导致较少的间隔数

>>> rng3 = NumericalInverseHermite(dist, order=3)
>>> rng5 = NumericalInverseHermite(dist, order=5)
>>> rng3.intervals, rng5.intervals
(3000, 522)

可以通过调用 u_error 方法来估计 u 误差。它运行一个小的蒙特卡罗模拟来估计 u 误差。默认情况下，使用 100,000 个样本。可以通过传递 sample_size 参数来更改此设置

>>> rng1 = NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-10)
>>> rng1.u_error(sample_size=1000000)  # uses one million samples
UError(max_error=9.53167544892608e-11, mean_absolute_error=2.2450136432146864e-11)

这将返回一个包含最大 u 误差和平均绝对 u 误差的 namedtuple。

可以通过减小 u 分辨率（最大允许的 u 误差）来减小 u 误差

>>> rng2 = NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-13)
>>> rng2.u_error(sample_size=1000000)
UError(max_error=9.32027892364129e-14, mean_absolute_error=1.5194172675685075e-14)

请注意，这会增加设置时间和间隔数。

>>> rng1.intervals
1022
>>> rng2.intervals
5687
>>> from timeit import timeit
>>> f = lambda: NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-10)
>>> timeit(f, number=1)
0.017409582000254886  # may vary
>>> f = lambda: NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-13)
>>> timeit(f, number=1)
0.08671202100003939  # may vary

由于正态分布的 PPF（百分位函数）可以作为特殊函数使用，我们还可以检查 x 误差，即近似 PPF 和精确 PPF 之间的差异。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> u = np.linspace(0.01, 0.99, 1000)
>>> approxppf = rng.ppf(u)
>>> exactppf = norm.ppf(u)
>>> error = np.abs(exactppf - approxppf)
>>> plt.plot(u, error)
>>> plt.xlabel('u')
>>> plt.ylabel('error')
>>> plt.title('Error between exact and approximated PPF (x-error)')
>>> plt.show()
../../_images/scipy-stats-sampling-NumericalInverseHermite-1_01_00.png
属性:
intervals

获取生成器对象中用于埃尔米特插值的节点（设计点）数量。

midpoint_error

方法

ppf(u)

给定分布的近似 PPF。

qrvs([size, d, qmc_engine])

给定随机变量的拟随机变量。

rvs([size, random_state])

从分布中采样。

set_random_state([random_state])

设置底层的均匀随机数生成器。

u_error([sample_size])

使用蒙特卡罗模拟估计近似值的 u 误差。
本页内容