scipy.sparse.csgraph.

laplacian#

scipy.sparse.csgraph.laplacian(csgraph, normed=False, return_diag=False, use_out_degree=False, *, copy=True, form='array', dtype=None, symmetrized=False)[源代码]#

返回有向图的拉普拉斯矩阵。

参数
csgraph类数组或稀疏矩阵,二维

压缩稀疏图,形状为 (N, N)。

normed布尔值,可选

如果为 True,则计算对称归一化的拉普拉斯矩阵。默认值:False。

return_diag布尔值,可选

如果为 True,则还返回与顶点度数相关的数组。默认值:False。

use_out_degree布尔值,可选

如果为 True,则使用出度而不是入度。仅当图是不对称时,此区别才重要。默认值:False。

copy: 布尔值,可选

如果为 False,则在可能的情况下就地更改 csgraph,避免内存使用量翻倍。默认值:True,为了向后兼容。

form: ‘array’、‘function’ 或 ‘lo’

确定输出拉普拉斯矩阵的格式

  • ‘array’ 是一个 numpy 数组;

  • ‘function’ 是一个指向计算拉普拉斯向量或拉普拉斯矩阵乘积的指针;

  • ‘lo’ 导致 LinearOperator 的格式。

选择 ‘function’ 或 ‘lo’ 始终可以避免内存使用量翻倍,忽略 copy 的值。默认值:‘array’,为了向后兼容。

dtype: None 或数值 numpy dtype 之一,可选

输出的 dtype。如果 dtype=None,则输出的 dtype 与输入 csgraph 的 dtype 相匹配,但 normed=True 且 csgraph 为类整数的情况除外,在这种情况下,输出 dtype 为 ‘float’,允许精确归一化,但会显著增加内存使用量。默认值:None,为了向后兼容。

symmetrized: 布尔值,可选

如果为 True,则输出拉普拉斯矩阵是对称/厄米的。对称化是通过 csgraph + csgraph.T.conj 完成的,在构造拉普拉斯矩阵之前不除以 2 以尽可能保留整数 dtype。除非稀疏模式是对称的或 form 为 ‘function’ 或 ‘lo’,否则对称化将增加稀疏矩阵的内存占用。默认值:False,为了向后兼容。

返回值
lapndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator

csgraph 的 N x N 拉普拉斯矩阵。如果输入是密集的,它将是一个 NumPy 数组(密集);否则,它将是一个稀疏矩阵;如果 form 等于 ‘function’ 或 ‘lo’,则它将分别是函数或 LinearOperator 的格式。

diagndarray,可选

拉普拉斯矩阵的长度为 N 的主对角线。对于归一化拉普拉斯矩阵,如果度数为零,则这是顶点度数的平方根数组或 1。

注意

图的拉普拉斯矩阵有时被称为“基尔霍夫矩阵”或简称为“拉普拉斯矩阵”,在谱图理论的许多部分都很有用。特别是,拉普拉斯矩阵的特征分解可以洞察图的许多属性,例如,通常用于谱数据嵌入和聚类。

如果 copy=Trueform="array"(默认设置),则构造的拉普拉斯矩阵的内存使用量将翻倍。选择 copy=False 不会产生任何影响,除非 form="array" 或矩阵是 coo 格式的稀疏矩阵,或者 normed=True 的整数输入强制输出为浮点数(密集数组)。

如果 form="array"(默认设置),则稀疏输入将重新格式化为 coo

如果输入邻接矩阵不是对称的,则拉普拉斯矩阵也不是对称的,除非使用 symmetrized=True

为了在 normed=True 的情况下进行归一化,输入邻接矩阵的对角线项将被忽略,并替换为零。归一化使用输入邻接矩阵的行和的平方根的倒数,因此如果行和包含负值或具有非零虚部的复数,则可能会失败。

归一化是对称的,如果输入 csgraph 是对称的,则归一化拉普拉斯矩阵也是对称的。

参考文献

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csgraph

我们的第一个示例是对称图

>>> G = np.arange(4) * np.arange(4)[:, np.newaxis]
>>> G
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 1, 2, 3],
       [0, 2, 4, 6],
       [0, 3, 6, 9]])

及其对称拉普拉斯矩阵

>>> csgraph.laplacian(G)
array([[ 0,  0,  0,  0],
       [ 0,  5, -2, -3],
       [ 0, -2,  8, -6],
       [ 0, -3, -6,  9]])

非对称图

>>> G = np.arange(9).reshape(3, 3)
>>> G
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])

具有不同的行和和列和,导致拉普拉斯矩阵有两种变体,使用入度(默认设置)

>>> L_in_degree = csgraph.laplacian(G)
>>> L_in_degree
array([[ 9, -1, -2],
       [-3,  8, -5],
       [-6, -7,  7]])

或者使用出度

>>> L_out_degree = csgraph.laplacian(G, use_out_degree=True)
>>> L_out_degree
array([[ 3, -1, -2],
       [-3,  8, -5],
       [-6, -7, 13]])

构造对称拉普拉斯矩阵,可以将两者相加,如

>>> L_in_degree + L_out_degree.T
array([[ 12,  -4,  -8],
        [ -4,  16, -12],
        [ -8, -12,  20]])

或使用 symmetrized=True 选项

>>> csgraph.laplacian(G, symmetrized=True)
array([[ 12,  -4,  -8],
       [ -4,  16, -12],
       [ -8, -12,  20]])

这等效于对原始图进行对称化

>>> csgraph.laplacian(G + G.T)
array([[ 12,  -4,  -8],
       [ -4,  16, -12],
       [ -8, -12,  20]])

归一化的目标是使拉普拉斯矩阵的非零对角线项都为单位,并相应地缩放非对角线项。归一化可以手动完成,例如:

>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]])
>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True)
>>> L
array([[ 2, -1, -1],
       [-1,  2, -1],
       [-1, -1,  2]])
>>> d
array([2, 2, 2])
>>> scaling = np.sqrt(d)
>>> scaling
array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356])
>>> (1/scaling)*L*(1/scaling)
array([[ 1. , -0.5, -0.5],
       [-0.5,  1. , -0.5],
       [-0.5, -0.5,  1. ]])

或使用 normed=True 选项

>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True)
>>> L
array([[ 1. , -0.5, -0.5],
       [-0.5,  1. , -0.5],
       [-0.5, -0.5,  1. ]])

现在它返回的是缩放系数,而不是对角线

>>> d
array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356])

零缩放系数用 1 替换,因此缩放没有效果,例如:

>>> G = np.array([[0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]])
>>> G
array([[0, 0, 0],
       [0, 0, 1],
       [0, 1, 0]])
>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True)
>>> L
array([[ 0., -0., -0.],
       [-0.,  1., -1.],
       [-0., -1.,  1.]])
>>> d
array([1., 1., 1.])

仅实现了对称归一化,当且仅当其图是对称的并且所有度数都为非负数时(如上例所示),才会产生对称拉普拉斯矩阵。

默认情况下,输出拉普拉斯矩阵是一个密集数组或一个稀疏矩阵,它从输入图矩阵推断出其形状、格式和 dtype

>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]).astype(np.float32)
>>> G
array([[0., 1., 1.],
       [1., 0., 1.],
       [1., 1., 0.]], dtype=float32)
>>> csgraph.laplacian(G)
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]], dtype=float32)

但也可以作为 LinearOperator 无矩阵生成

>>> L = csgraph.laplacian(G, form="lo")
>>> L
<3x3 _CustomLinearOperator with dtype=float32>
>>> L(np.eye(3))
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]])

或作为 lambda 函数

>>> L = csgraph.laplacian(G, form="function")
>>> L
<function _laplace.<locals>.<lambda> at 0x0000012AE6F5A598>
>>> L(np.eye(3))
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]])

拉普拉斯矩阵用于谱数据聚类和嵌入以及谱图划分。我们的最后一个示例说明了后者用于有噪声的有向线性图。

>>> from scipy.sparse import diags, random
>>> from scipy.sparse.linalg import lobpcg

使用稀疏邻接矩阵 G 创建一个具有 N=35 个顶点的有向线性图

>>> N = 35
>>> G = diags(np.ones(N-1), 1, format="csr")

修复随机种子 rng 并向图 G 添加随机稀疏噪声

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> G += 1e-2 * random(N, N, density=0.1, random_state=rng)

设置特征向量的初始近似值

>>> X = rng.random((N, 2))

1 的常数向量始终是非归一化拉普拉斯矩阵的平凡特征向量,需要将其滤除

>>> Y = np.ones((N, 1))

交替 (1) 图权重的符号允许在单个循环中确定谱最大割和最小割的标签。由于图是无向的,因此在构造拉普拉斯矩阵时必须使用选项 symmetrized=True。选项 normed=True 不能在 (2) 中用于此处的负权重,因为对称归一化会计算平方根。选项 form="lo" 在 (2) 中是无矩阵的,即,保证固定的内存占用空间并只读访问图。调用特征值求解器 lobpcg (3) 计算 Fiedler 向量,该向量确定标签为 (5) 中其分量的符号。由于特征向量中的符号是不确定的并且可以翻转,因此我们在 (4) 中将第一个分量的符号固定为始终为 +1。

>>> for cut in ["max", "min"]:
...     G = -G  # 1.
...     L = csgraph.laplacian(G, symmetrized=True, form="lo")  # 2.
...     _, eves = lobpcg(L, X, Y=Y, largest=False, tol=1e-2)  # 3.
...     eves *= np.sign(eves[0, 0])  # 4.
...     print(cut + "-cut labels:\n", 1 * (eves[:, 0]>0))  # 5.
max-cut labels:
[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1]
min-cut labels:
[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

正如对(略有噪声的)线性图的预期,最大割去除了图的所有边,将所有奇数顶点着色为一种颜色,将所有偶数顶点着色为另一种颜色,而平衡最小割通过删除一条边将图从中间划分。确定的两个分区都是最优的。