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scipy.sparse.csgraph.

laplacian#

scipy.sparse.csgraph.laplacian(csgraph, normed=False, return_diag=False, use_out_degree=False, *, copy=True, form='array', dtype=None, symmetrized=False)[源代码]#

返回有向图的拉普拉斯算子。

参数:
csgraph类数组或稀疏数组或矩阵，2 维

压缩稀疏图，形状为 (N, N)。

normedbool，可选

如果为 True，则计算对称归一化的拉普拉斯算子。默认值：False。

return_diagbool，可选

如果为 True，则还会返回一个与顶点度相关的数组。默认值：False。

use_out_degreebool，可选

如果为 True，则使用出度而不是入度。只有当图不对称时，这种区别才有意义。默认值：False。

copy: bool, 可选

如果为 False，则尽可能就地更改 csgraph，避免内存使用量翻倍。默认值：True，为了向后兼容。

form: ‘array’，或 ‘function’，或 ‘lo’

确定输出拉普拉斯算子的格式

  • ‘array’ 是一个 numpy 数组；

  • ‘function’ 是一个指向评估拉普拉斯向量或拉普拉斯矩阵乘积的指针；

  • ‘lo’ 会产生 LinearOperator 的格式。

选择 ‘function’ 或 ‘lo’ 始终避免内存使用量翻倍，忽略 copy 值。默认值：‘array’，为了向后兼容。

dtype: None 或一个数值 numpy dtype，可选

输出的 dtype。如果 dtype=None，则输出的 dtype 与输入 csgraph 的 dtype 匹配，除非 normed=True 和类似整数的 csgraph，在这种情况下，输出的 dtype 为 ‘float’，允许精确归一化，但会大幅增加内存使用量。默认值：None，为了向后兼容。

symmetrized: bool，可选

如果为 True，则输出拉普拉斯算子是对称/埃尔米特的。对称化是通过 csgraph + csgraph.T.conj 完成的，不除以 2 以在构建拉普拉斯算子之前尽可能保留整数 dtype。除非稀疏模式是对称的或 form 为 ‘function’ 或 ‘lo’，否则对称化会增加稀疏矩阵的内存占用。默认值：False，为了向后兼容。

返回:
lapndarray，或稀疏数组或矩阵，或 LinearOperator

csgraph 的 N x N 拉普拉斯算子。如果输入是密集的，它将是一个 NumPy 数组（密集），否则将是一个稀疏数组，或者如果 form 分别等于 ‘function’ 或 ‘lo’，则采用函数或 LinearOperator 的格式。

diagndarray，可选

拉普拉斯矩阵的长度为 N 的主对角线。对于归一化的拉普拉斯算子，这是顶点度的平方根数组，如果度为零则为 1。

备注

图的拉普拉斯矩阵有时被称为“基尔霍夫矩阵”或简称“拉普拉斯算子”，在谱图论的许多部分中都很有用。特别是，拉普拉斯算子的特征分解可以深入了解图的许多属性，例如，通常用于谱数据嵌入和聚类。

如果 copy=True 和 form="array"（这是默认设置），则构造的拉普拉斯算子会使内存使用量翻倍。除非 form="array" 或矩阵是 coo 格式的稀疏矩阵，或者密集数组，否则选择 copy=False 没有效果，除了具有 normed=True 的整数输入会强制浮点输出。

如果 form="array"（这是默认设置），则稀疏输入会被重新格式化为 coo。

如果输入邻接矩阵不是对称的，则拉普拉斯算子也是非对称的，除非使用 symmetrized=True。

对于 normed=True 的归一化目的，输入邻接矩阵的对角线项将被忽略并替换为零。归一化使用输入邻接矩阵的行和的平方根倒数，因此如果行和包含负值或虚部不为零的复数值，则可能会失败。

归一化是对称的，如果输入 csgraph 是对称的，则归一化的拉普拉斯算子也是对称的。

参考资料

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csgraph

我们的第一个示例是对称图

>>> G = np.arange(4) * np.arange(4)[:, np.newaxis]
>>> G
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 1, 2, 3],
       [0, 2, 4, 6],
       [0, 3, 6, 9]])

及其对称拉普拉斯矩阵

>>> csgraph.laplacian(G)
array([[ 0,  0,  0,  0],
       [ 0,  5, -2, -3],
       [ 0, -2,  8, -6],
       [ 0, -3, -6,  9]])

非对称图

>>> G = np.arange(9).reshape(3, 3)
>>> G
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])

具有不同的行和列和，导致两种拉普拉斯矩阵，使用入度（这是默认设置）

>>> L_in_degree = csgraph.laplacian(G)
>>> L_in_degree
array([[ 9, -1, -2],
       [-3,  8, -5],
       [-6, -7,  7]])

或者，使用出度

>>> L_out_degree = csgraph.laplacian(G, use_out_degree=True)
>>> L_out_degree
array([[ 3, -1, -2],
       [-3,  8, -5],
       [-6, -7, 13]])

要构造对称拉普拉斯矩阵，可以将两者相加，如下所示

>>> L_in_degree + L_out_degree.T
array([[ 12,  -4,  -8],
        [ -4,  16, -12],
        [ -8, -12,  20]])

或使用 symmetrized=True 选项

>>> csgraph.laplacian(G, symmetrized=True)
array([[ 12,  -4,  -8],
       [ -4,  16, -12],
       [ -8, -12,  20]])

这等效于对原始图进行对称化

>>> csgraph.laplacian(G + G.T)
array([[ 12,  -4,  -8],
       [ -4,  16, -12],
       [ -8, -12,  20]])

归一化的目的是使拉普拉斯矩阵的非零对角线项全部为单位，同时相应地缩放非对角线项。归一化可以手动完成，例如

>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]])
>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True)
>>> L
array([[ 2, -1, -1],
       [-1,  2, -1],
       [-1, -1,  2]])
>>> d
array([2, 2, 2])
>>> scaling = np.sqrt(d)
>>> scaling
array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356])
>>> (1/scaling)*L*(1/scaling)
array([[ 1. , -0.5, -0.5],
       [-0.5,  1. , -0.5],
       [-0.5, -0.5,  1. ]])

或使用 normed=True 选项

>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True)
>>> L
array([[ 1. , -0.5, -0.5],
       [-0.5,  1. , -0.5],
       [-0.5, -0.5,  1. ]])

现在，它返回缩放系数而不是对角线

>>> d
array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356])

零缩放系数被替换为 1，因此缩放无效，例如

>>> G = np.array([[0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]])
>>> G
array([[0, 0, 0],
       [0, 0, 1],
       [0, 1, 0]])
>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True)
>>> L
array([[ 0., -0., -0.],
       [-0.,  1., -1.],
       [-0., -1.,  1.]])
>>> d
array([1., 1., 1.])

仅实现对称归一化，当且仅当其图是对称的并且具有所有非负度时，才会产生对称拉普拉斯矩阵，如上面的示例所示。

输出拉普拉斯矩阵默认为密集数组或稀疏数组或矩阵，从输入图矩阵推断其类、形状、格式和 dtype

>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]).astype(np.float32)
>>> G
array([[0., 1., 1.],
       [1., 0., 1.],
       [1., 1., 0.]], dtype=float32)
>>> csgraph.laplacian(G)
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]], dtype=float32)

但也可以矩阵自由地生成为 LinearOperator

>>> L = csgraph.laplacian(G, form="lo")
>>> L
<3x3 _CustomLinearOperator with dtype=float32>
>>> L(np.eye(3))
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]])

或作为 lambda 函数

>>> L = csgraph.laplacian(G, form="function")
>>> L
<function _laplace.<locals>.<lambda> at 0x0000012AE6F5A598>
>>> L(np.eye(3))
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]])

拉普拉斯矩阵用于谱数据聚类和嵌入以及谱图划分。我们的最后一个示例说明了后者，用于有噪声的有向线性图。

>>> from scipy.sparse import diags_array, random_array
>>> from scipy.sparse.linalg import lobpcg

使用稀疏邻接矩阵 G 创建一个具有 N=35 个顶点的有向线性图

>>> N = 35
>>> G = diags_array(np.ones(N - 1), offsets=1, format="csr")

修复随机种子 rng 并向图 G 添加随机稀疏噪声

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> G += 1e-2 * random_array((N, N), density=0.1, rng=rng)

设置特征向量的初始近似值

>>> X = rng.random((N, 2))

全 1 常数向量始终是非归一化拉普拉斯算子的平凡特征向量，应将其过滤掉

>>> Y = np.ones((N, 1))

交替 (1) 图权重的符号允许在单个循环中确定谱最大值和最小值切割的标签。由于图是无向的，因此必须在构建拉普拉斯算子时使用选项 symmetrized=True。由于对称归一化评估平方根，因此选项 normed=True 不能用于 (2) 中的负权重。 (2) 中的选项 form="lo" 是无矩阵的，即保证固定内存占用并对图进行只读访问。调用特征值求解器 lobpcg (3) 会计算 Fiedler 向量，该向量将标签确定为其分量的符号 (5)。由于特征向量中的符号是不确定的并且可以翻转，因此我们在 (4) 中将第一个分量的符号固定为始终 +1。

>>> for cut in ["max", "min"]:
...     G = -G  # 1.
...     L = csgraph.laplacian(G, symmetrized=True, form="lo")  # 2.
...     _, eves = lobpcg(L, X, Y=Y, largest=False, tol=1e-2)  # 3.
...     eves *= np.sign(eves[0, 0])  # 4.
...     print(cut + "-cut labels:\n", 1 * (eves[:, 0]>0))  # 5.
max-cut labels:
[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1]
min-cut labels:
[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

正如（略有噪声的）线性图所预料的那样，最大切割会剥离图的所有边，将所有奇数顶点着色为一种颜色，将所有偶数顶点着色为另一种颜色，而平衡最小切割会将图在中间划分，删除一条边。两个确定的分区都是最优的。

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