laplacian#
- scipy.sparse.csgraph.laplacian(csgraph, normed=False, return_diag=False, use_out_degree=False, *, copy=True, form='array', dtype=None, symmetrized=False)[源代码]#
返回有向图的拉普拉斯矩阵。
- 参数:
- csgraph类数组或稀疏矩阵,二维
压缩稀疏图,形状为 (N, N)。
- normed布尔值,可选
如果为 True,则计算对称归一化的拉普拉斯矩阵。默认值:False。
- return_diag布尔值,可选
如果为 True,则还返回与顶点度数相关的数组。默认值:False。
- use_out_degree布尔值,可选
如果为 True,则使用出度而不是入度。仅当图是不对称时,此区别才重要。默认值:False。
- copy: 布尔值,可选
如果为 False,则在可能的情况下就地更改 csgraph,避免内存使用量翻倍。默认值:True,为了向后兼容。
- form: ‘array’、‘function’ 或 ‘lo’
确定输出拉普拉斯矩阵的格式
‘array’ 是一个 numpy 数组;
‘function’ 是一个指向计算拉普拉斯向量或拉普拉斯矩阵乘积的指针;
‘lo’ 导致 LinearOperator 的格式。
选择 ‘function’ 或 ‘lo’ 始终可以避免内存使用量翻倍,忽略
copy
的值。默认值:‘array’,为了向后兼容。- dtype: None 或数值 numpy dtype 之一,可选
输出的 dtype。如果
dtype=None
,则输出的 dtype 与输入 csgraph 的 dtype 相匹配,但normed=True
且 csgraph 为类整数的情况除外,在这种情况下,输出 dtype 为 ‘float’,允许精确归一化,但会显著增加内存使用量。默认值:None,为了向后兼容。- symmetrized: 布尔值,可选
如果为 True,则输出拉普拉斯矩阵是对称/厄米的。对称化是通过
csgraph + csgraph.T.conj
完成的,在构造拉普拉斯矩阵之前不除以 2 以尽可能保留整数 dtype。除非稀疏模式是对称的或 form 为 ‘function’ 或 ‘lo’,否则对称化将增加稀疏矩阵的内存占用。默认值:False,为了向后兼容。
- 返回值:
- lapndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator
csgraph 的 N x N 拉普拉斯矩阵。如果输入是密集的,它将是一个 NumPy 数组(密集);否则,它将是一个稀疏矩阵;如果 form 等于 ‘function’ 或 ‘lo’,则它将分别是函数或 LinearOperator 的格式。
- diagndarray,可选
拉普拉斯矩阵的长度为 N 的主对角线。对于归一化拉普拉斯矩阵,如果度数为零,则这是顶点度数的平方根数组或 1。
注意
图的拉普拉斯矩阵有时被称为“基尔霍夫矩阵”或简称为“拉普拉斯矩阵”,在谱图理论的许多部分都很有用。特别是,拉普拉斯矩阵的特征分解可以洞察图的许多属性,例如,通常用于谱数据嵌入和聚类。
如果
copy=True
且form="array"
(默认设置),则构造的拉普拉斯矩阵的内存使用量将翻倍。选择copy=False
不会产生任何影响,除非form="array"
或矩阵是coo
格式的稀疏矩阵,或者normed=True
的整数输入强制输出为浮点数(密集数组)。如果
form="array"
(默认设置),则稀疏输入将重新格式化为coo
。如果输入邻接矩阵不是对称的,则拉普拉斯矩阵也不是对称的,除非使用
symmetrized=True
。为了在
normed=True
的情况下进行归一化,输入邻接矩阵的对角线项将被忽略,并替换为零。归一化使用输入邻接矩阵的行和的平方根的倒数,因此如果行和包含负值或具有非零虚部的复数,则可能会失败。归一化是对称的,如果输入 csgraph 是对称的,则归一化拉普拉斯矩阵也是对称的。
参考文献
示例
>>> import numpy as np >>> from scipy.sparse import csgraph
我们的第一个示例是对称图
>>> G = np.arange(4) * np.arange(4)[:, np.newaxis] >>> G array([[0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3], [0, 2, 4, 6], [0, 3, 6, 9]])
及其对称拉普拉斯矩阵
>>> csgraph.laplacian(G) array([[ 0, 0, 0, 0], [ 0, 5, -2, -3], [ 0, -2, 8, -6], [ 0, -3, -6, 9]])
非对称图
>>> G = np.arange(9).reshape(3, 3) >>> G array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
具有不同的行和和列和,导致拉普拉斯矩阵有两种变体,使用入度(默认设置)
>>> L_in_degree = csgraph.laplacian(G) >>> L_in_degree array([[ 9, -1, -2], [-3, 8, -5], [-6, -7, 7]])
或者使用出度
>>> L_out_degree = csgraph.laplacian(G, use_out_degree=True) >>> L_out_degree array([[ 3, -1, -2], [-3, 8, -5], [-6, -7, 13]])
构造对称拉普拉斯矩阵,可以将两者相加,如
>>> L_in_degree + L_out_degree.T array([[ 12, -4, -8], [ -4, 16, -12], [ -8, -12, 20]])
或使用
symmetrized=True
选项>>> csgraph.laplacian(G, symmetrized=True) array([[ 12, -4, -8], [ -4, 16, -12], [ -8, -12, 20]])
这等效于对原始图进行对称化
>>> csgraph.laplacian(G + G.T) array([[ 12, -4, -8], [ -4, 16, -12], [ -8, -12, 20]])
归一化的目标是使拉普拉斯矩阵的非零对角线项都为单位,并相应地缩放非对角线项。归一化可以手动完成,例如:
>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]) >>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True) >>> L array([[ 2, -1, -1], [-1, 2, -1], [-1, -1, 2]]) >>> d array([2, 2, 2]) >>> scaling = np.sqrt(d) >>> scaling array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356]) >>> (1/scaling)*L*(1/scaling) array([[ 1. , -0.5, -0.5], [-0.5, 1. , -0.5], [-0.5, -0.5, 1. ]])
或使用
normed=True
选项>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True) >>> L array([[ 1. , -0.5, -0.5], [-0.5, 1. , -0.5], [-0.5, -0.5, 1. ]])
现在它返回的是缩放系数,而不是对角线
>>> d array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356])
零缩放系数用 1 替换,因此缩放没有效果,例如:
>>> G = np.array([[0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]]) >>> G array([[0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]]) >>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True) >>> L array([[ 0., -0., -0.], [-0., 1., -1.], [-0., -1., 1.]]) >>> d array([1., 1., 1.])
仅实现了对称归一化,当且仅当其图是对称的并且所有度数都为非负数时(如上例所示),才会产生对称拉普拉斯矩阵。
默认情况下,输出拉普拉斯矩阵是一个密集数组或一个稀疏矩阵,它从输入图矩阵推断出其形状、格式和 dtype
>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]).astype(np.float32) >>> G array([[0., 1., 1.], [1., 0., 1.], [1., 1., 0.]], dtype=float32) >>> csgraph.laplacian(G) array([[ 2., -1., -1.], [-1., 2., -1.], [-1., -1., 2.]], dtype=float32)
但也可以作为 LinearOperator 无矩阵生成
>>> L = csgraph.laplacian(G, form="lo") >>> L <3x3 _CustomLinearOperator with dtype=float32> >>> L(np.eye(3)) array([[ 2., -1., -1.], [-1., 2., -1.], [-1., -1., 2.]])
或作为 lambda 函数
>>> L = csgraph.laplacian(G, form="function") >>> L <function _laplace.<locals>.<lambda> at 0x0000012AE6F5A598> >>> L(np.eye(3)) array([[ 2., -1., -1.], [-1., 2., -1.], [-1., -1., 2.]])
拉普拉斯矩阵用于谱数据聚类和嵌入以及谱图划分。我们的最后一个示例说明了后者用于有噪声的有向线性图。
>>> from scipy.sparse import diags, random >>> from scipy.sparse.linalg import lobpcg
使用稀疏邻接矩阵
G
创建一个具有N=35
个顶点的有向线性图>>> N = 35 >>> G = diags(np.ones(N-1), 1, format="csr")
修复随机种子
rng
并向图G
添加随机稀疏噪声>>> rng = np.random.default_rng() >>> G += 1e-2 * random(N, N, density=0.1, random_state=rng)
设置特征向量的初始近似值
>>> X = rng.random((N, 2))
1 的常数向量始终是非归一化拉普拉斯矩阵的平凡特征向量,需要将其滤除
>>> Y = np.ones((N, 1))
交替 (1) 图权重的符号允许在单个循环中确定谱最大割和最小割的标签。由于图是无向的,因此在构造拉普拉斯矩阵时必须使用选项
symmetrized=True
。选项normed=True
不能在 (2) 中用于此处的负权重,因为对称归一化会计算平方根。选项form="lo"
在 (2) 中是无矩阵的,即,保证固定的内存占用空间并只读访问图。调用特征值求解器lobpcg
(3) 计算 Fiedler 向量,该向量确定标签为 (5) 中其分量的符号。由于特征向量中的符号是不确定的并且可以翻转,因此我们在 (4) 中将第一个分量的符号固定为始终为 +1。>>> for cut in ["max", "min"]: ... G = -G # 1. ... L = csgraph.laplacian(G, symmetrized=True, form="lo") # 2. ... _, eves = lobpcg(L, X, Y=Y, largest=False, tol=1e-2) # 3. ... eves *= np.sign(eves[0, 0]) # 4. ... print(cut + "-cut labels:\n", 1 * (eves[:, 0]>0)) # 5. max-cut labels: [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1] min-cut labels: [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
正如对(略有噪声的)线性图的预期,最大割去除了图的所有边,将所有奇数顶点着色为一种颜色,将所有偶数顶点着色为另一种颜色,而平衡最小割通过删除一条边将图从中间划分。确定的两个分区都是最优的。