scipy.linalg.

solve_discrete_lyapunov#

scipy.linalg.solve_discrete_lyapunov(a, q, method=None)[源代码]#

求解离散 Lyapunov 方程 \(AXA^H - X + Q = 0\)。

参数:

a, q(M, M) 类似数组

分别对应于上述方程中的 A 和 Q 的方阵。必须具有相同的形状。

method{‘direct’, ‘bilinear’}, 可选

求解器类型。

如果未给定，则当 M 小于 10 时选择 direct，否则选择 bilinear。

返回:

xndarray: 离散 Lyapunov 方程的解

另请参见

solve_continuous_lyapunov: 计算连续时间 Lyapunov 方程的解

注释

本节介绍可由 ‘method’ 参数选择的可用求解器。如果 M 小于 10，则默认方法是 direct，否则为 bilinear。

方法 direct 使用离散 Lyapunov 方程的直接解析解。该算法例如在 [1] 中给出。但是，它需要求解维度为 \(M^2\) 的线性系统，因此即使对于中等大小的矩阵，性能也会迅速下降。

方法 bilinear 使用双线性变换将离散 Lyapunov 方程转换为连续 Lyapunov 方程 \((BX+XB'=-C)\)，其中 \(B=(A-I)(A+I)^{-1}\) 且 \(C=2(A' + I)^{-1} Q (A + I)^{-1}\)。由于连续方程是 Sylvester 方程的一个特例，因此可以有效地求解。该变换算法来自 Popov (1964)，如 [2] 中所述。

在 0.11.0 版本中添加。

参考

[1]

“Lyapunov equation”, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation#Discrete_time

[2]

Gajic, Z., and M.T.J. Qureshi. 2008. Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control. Dover Books on Engineering Series. Dover Publications.

示例

给定 a 和 q，求解 x

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> a = np.array([[0.2, 0.5],[0.7, -0.9]])
>>> q = np.eye(2)
>>> x = linalg.solve_discrete_lyapunov(a, q)
>>> x
array([[ 0.70872893,  1.43518822],
       [ 1.43518822, -2.4266315 ]])
>>> np.allclose(a.dot(x).dot(a.T)-x, -q)
True