scipy.linalg.

norm#

scipy.linalg.norm(a, ord=None, axis=None, keepdims=False, check_finite=True)[源]#

矩阵或向量范数。

此函数能够返回八种不同的矩阵范数之一，或无限数量的向量范数之一（如下所述），具体取决于 ord 参数的值。对于秩不同于 1 或 2 的张量，仅支持 ord=None。

参数:

aarray_like: 输入数组。如果 axis 为 None，则 a 必须是一维或二维的，除非 ord 为 None。如果 axis 和 ord 都为 None，则返回 a.ravel 的 2-范数。
ord{int, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’, None}, optional: 范数的阶（参见 Notes 下的表格）。inf 表示 NumPy 的 inf 对象。
axis{int, 2-tuple of ints, None}, optional: 如果 axis 是整数，它指定了 a 中计算向量范数的轴。如果 axis 是一个 2 元组，它指定了包含二维矩阵的轴，并计算这些矩阵的矩阵范数。如果 axis 为 None，则返回向量范数（当 a 是一维时）或矩阵范数（当 a 是二维时）。
keepdimsbool, optional: 如果设置为 True，则规范化所涉及的轴将作为大小为一的维度保留在结果中。使用此选项，结果将与原始 a 正确广播。
check_finitebool, optional: 是否检查输入矩阵仅包含有限数。禁用此选项可能会提高性能，但如果输入确实包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题（崩溃、不终止）。

返回:

nfloat or ndarray: 矩阵或向量的范数。

备注

对于 ord <= 0 的值，结果严格来说不是数学上的“范数”，但它可能对各种数值目的仍然有用。

可以计算以下范数

ord	矩阵范数	向量范数
None	Frobenius 范数	2-范数
‘fro’	Frobenius 范数	–
‘nuc’	核范数	–
inf	max(sum(abs(a), axis=1))	max(abs(a))
-inf	min(sum(abs(a), axis=1))	min(abs(a))
0	–	sum(a != 0)
1	max(sum(abs(a), axis=0))	如下
-1	min(sum(abs(a), axis=0))	如下
2	2-范数（最大奇异值）	如下
-2	最小奇异值	如下
其他	–	sum(abs(a)ord)(1./ord)

Frobenius 范数由 [1] 给出

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核范数是奇异值之和。

Frobenius 范数和核范数都只为矩阵定义。

参考文献

[1]

G. H. Golub and C. F. Van Loan, 矩阵计算 (Matrix Computations), Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 1985, pg. 15

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import norm
>>> a = np.arange(9) - 4.0
>>> a
array([-4., -3., -2., -1.,  0.,  1.,  2.,  3.,  4.])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4., -3., -2.],
       [-1.,  0.,  1.],
       [ 2.,  3.,  4.]])

>>> norm(a)
7.745966692414834
>>> norm(b)
7.745966692414834
>>> norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> norm(a, np.inf)
4.0
>>> norm(b, np.inf)
9.0
>>> norm(a, -np.inf)
0.0
>>> norm(b, -np.inf)
2.0

>>> norm(a, 1)
20.0
>>> norm(b, 1)
7.0
>>> norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> norm(b, -1)
6.0
>>> norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> norm(a, -2)
0.0
>>> norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016
>>> norm(a, 3)
5.8480354764257312
>>> norm(a, -3)
0.0