scipy.fftpack.

dct#

scipy.fftpack.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False)[源代码]#

返回任意类型序列 x 的离散余弦变换。

参数:

xarray_like: 输入数组。
type{1, 2, 3, 4}, 可选: DCT 的类型 (参见 Notes)。默认类型为 2。
nint, 可选: 变换的长度。如果 n < x.shape[axis], 则会截断 *x*。如果 n > x.shape[axis]，则会用零填充 *x*。默认结果为 n = x.shape[axis]。
axisint, 可选: 计算 dct 的轴；默认是最后一个轴（即，axis=-1）。
norm{None, ‘ortho’}, 可选: 归一化模式（参见 Notes）。默认为 None。
overwrite_xbool, 可选: 如果为 True，则可以破坏 *x* 的内容；默认值为 False。

返回:

y实数的 ndarray: 变换后的输入数组。

参见

idct: 逆 DCT

说明

对于一维数组 x, dct(x, norm='ortho') 等于 MATLAB dct(x)。

理论上，DCT 有 8 种类型，scipy 中只实现了前 4 种类型。“The” DCT 通常指 DCT 类型 2，“the” 逆 DCT 通常指 DCT 类型 3。

类型 I

DCT-I 有几种定义；我们使用以下定义（对于 norm=None）

\[y_k = x_0 + (-1)^k x_{N-1} + 2 \sum_{n=1}^{N-2} x_n \cos\left( \frac{\pi k n}{N-1} \right)\]

如果 norm='ortho'，x[0] 和 x[N-1] 乘以缩放因子 \(\sqrt{2}\)，y[k] 乘以缩放因子 f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{N-1}} & \text{如果 }k=0\text{ 或 }N-1, \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{N-1}} & \text{否则} \end{cases}\end{split}\]

1.2.0 版本新增: DCT-I 中的正交化。

注意

仅当输入大小 > 1 时，才支持 DCT-I。

类型 II

DCT-II 有几种定义；我们使用以下定义（对于 norm=None）

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N} \right)\]

如果 norm='ortho'，y[k] 乘以缩放因子 f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{4N}} & \text{如果 }k=0, \\ \sqrt{\frac{1}{2N}} & \text{否则} \end{cases}\end{split}\]

这使得系数的对应矩阵为正交矩阵 (O @ O.T = np.eye(N))。

类型 III

有几种定义，我们使用以下定义（对于 norm=None）

\[y_k = x_0 + 2 \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

或，对于 norm='ortho'

\[y_k = \frac{x_0}{\sqrt{N}} + \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

（未归一化的）DCT-III 是（未归一化的）DCT-II 的逆，乘以一个因子 2N。正交化的 DCT-III 正是正交化的 DCT-II 的逆。

类型 IV

DCT-IV 有几种定义；我们使用以下定义（对于 norm=None）

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)(2n+1)}{4N} \right)\]

如果 norm='ortho'，y[k] 乘以缩放因子 f

\[f = \frac{1}{\sqrt{2N}}\]

1.2.0 版本新增: 对 DCT-IV 的支持。

参考文献

[1]

‘一维和二维快速余弦变换’，J. Makhoul，IEEE 语音、语音和信号处理学报 第 28(1) 卷，第 27-34 页，DOI:10.1109/TASSP.1980.1163351 (1980)。

[2]

维基百科，“离散余弦变换”，https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

示例

对于实数、偶对称输入，类型 1 DCT 等效于 FFT（但速度更快）。输出也是实数且偶对称的。一半的 FFT 输入用于生成一半的 FFT 输出

>>> from scipy.fftpack import fft, dct
>>> import numpy as np
>>> fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])).real
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.,   6.,  -8.])
>>> dct(np.array([4., 3., 5., 10.]), 1)
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.])