scipy.fftpack.

dct#

scipy.fftpack.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False)[source]#

返回任意类型序列 x 的离散余弦变换。

参数：

xarray_like: 输入数组。
type{1, 2, 3, 4}, optional: DCT 的类型（见备注）。默认类型为 2。
nint, optional: 变换的长度。如果 n < x.shape[axis]，则截断 x。如果 n > x.shape[axis]，则用零填充 x。默认情况下，n = x.shape[axis]。
axisint, optional: 计算 DCT 的轴；默认情况下，它作用于最后一个轴（即 axis=-1）。
norm{None, ‘ortho’}, optional: 归一化模式（见备注）。默认值为 None。
overwrite_xbool, optional: 如果为 True，则可以销毁 x 的内容；默认值为 False。

返回值：

yndarray of real: 变换后的输入数组。

参见

idct: 逆 DCT

备注

对于单个维度数组 x，dct(x, norm='ortho') 等于 MATLAB dct(x)。

理论上，DCT 有 8 种类型，scipy 中只实现了前 4 种类型。‘The’ DCT 通常指 DCT 类型 2，而 ‘the’ 逆 DCT 通常指 DCT 类型 3。

类型 I

DCT-I 有几种定义；我们使用以下定义（对于 norm=None）：

\[y_k = x_0 + (-1)^k x_{N-1} + 2 \sum_{n=1}^{N-2} x_n \cos\left( \frac{\pi k n}{N-1} \right)\]

如果 norm='ortho'，则 x[0] 和 x[N-1] 乘以 \(\sqrt{2}\) 的缩放因子，而 y[k] 乘以缩放因子 f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{N-1}} & \text{if }k=0\text{ or }N-1, \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{N-1}} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

在版本 1.2.0 中添加： DCT-I 中的正交化。

注意

DCT-I 仅支持输入大小 > 1。

类型 II

DCT-II 有几种定义；我们使用以下定义（对于 norm=None）：

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N} \right)\]

如果 norm='ortho'，则 y[k] 乘以缩放因子 f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{4N}} & \text{if }k=0, \\ \sqrt{\frac{1}{2N}} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

这使得相应的系数矩阵为正交的 (O @ O.T = np.eye(N))。

类型 III

有几种定义，我们使用以下定义（对于 norm=None）：

\[y_k = x_0 + 2 \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

或，对于 norm='ortho'

\[y_k = \frac{x_0}{\sqrt{N}} + \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

(未归一化的) DCT-III 是 (未归一化的) DCT-II 的逆，最多乘以 2N。正交化后的 DCT-III 是正交化后的 DCT-II 的精确逆。

类型 IV

DCT-IV 有几种定义；我们使用以下定义（对于 norm=None）：

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)(2n+1)}{4N} \right)\]

如果 norm='ortho'，则 y[k] 乘以缩放因子 f

\[f = \frac{1}{\sqrt{2N}}\]

在版本 1.2.0 中添加：支持 DCT-IV。

参考文献

[1]

‘一维和二维快速余弦变换’，作者：J. Makhoul，IEEE 声学、语音和信号处理汇刊 第 28 卷 (1)，第 27-34 页，DOI:10.1109/TASSP.1980.1163351 (1980)。

[2]

维基百科，“离散余弦变换”，https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

示例

对于实数、偶对称输入，类型 1 DCT 等效于 FFT（但更快）。输出也是实数且偶对称。FFT 输入的一半用于生成 FFT 输出的一半。

>>> from scipy.fftpack import fft, dct
>>> import numpy as np
>>> fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])).real
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.,   6.,  -8.])
>>> dct(np.array([4., 3., 5., 10.]), 1)
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.])