scipy.stats.

quantile_test

scipy.stats.quantile_test(x, *, q=0, p=0.5, alternative='two-sided')

执行分位数检验并计算分位数的置信区间。

此函数检验这样一种零假设：q 是与概率为 p 的样本x 中基础人口相关联的分位数的值。例如，在默认参数中，它会检验基础人口x 的中位数为零。此函数会返回一个对象，其中包括检验统计值、p 值和一个用于计算分位数周围置信区间的计算方法。

参数:

xarray_like

一维样本。

qfloat，默认值：0

分位数的假定值。

pfloat，默认值：0.5

与分位数相关联的概率；即小于q 的人口比例为p。必须严格介于 0 和 1 之间。

备择{‘双边’, ‘小于’, ‘大于’}, 可选

定义备选假设。以下选项可用（默认选择为‘双边’）

• ‘双边’：与概率 p 相关的分位数不为 q。

• ‘小于’：与概率 p 相关的分位数小于 q。

• ‘大于’：与概率 p 相关的分位数大于 q。

返回:

结果分位数检验结果

一个具有以下属性的对象

statistic浮点数

分位数检验中可能使用的两个检验统计量之一。第一个检验统计量 T1 是小于或等于假设分位数 q 的x 中样本的比例。第二个检验统计量 T2 是严格小于假设分位数 q 的x 中的样本的比例。

当 alternative = 'greater'，T1 用于计算 p 值，并且 statistic 设置为 T1。

当 alternative = 'less'，T2 用于计算 p 值，并且 statistic 设置为 T2。

当 alternative = 'two-sided'，则 T1 和 T2 都被考虑在内，并且使用其中一个导致 p 值最小的那个。

statistic_type整数

根据是 T1 还是 T2 用于计算 p 值，它可以为 1 或 2。

pvalue浮点数

与给定的备选方案相关的 p 值。

该对象还有以下方法：

confidence_interval(confidence_level=0.95)

计算与概率 p 关联的总体分位数周围的一个置信区间。置信区间在 namedtuple 中返回，其中包含字段 low 和 high。如果没有足够的观测值来计算所需置信度下的置信区间，则值为 nan。

注意

此测试及其计算置信区间的方法是非参数化的。仅当观测值是 i.i.d. 时，它们才有效。

此测试的实现遵循 Conover [1]。考虑了两个检验统计量。

T1：小于或等于 q 的 x 中的观测值的数量。

T1 = (x <= q).sum()

T2：严格小于 q 的 x 中的观测值的数量。

T2 = (x < q).sum()

使用两个检验统计量对于处理 x 由离散分布或混合分布生成的情况是必要的。

此测试的零假设是

H0：\(p^{\mathrm{th}}\)总体分位数为 q。

每个检验统计量的零分布是 \(\mathrm{binom}\left(n, p\right)\)。当 alternative='less' 时，备择假设是

H1：\(p^{\mathrm{th}}\)总体分位数小于 q。

p 值是二项分布随机变量

\[Y \sim \mathrm{binom}\left(n, p\right)\]

大于或等于观测值 T2 的概率。

当 alternative='greater' 时，备择假设是

H1：\(p^{\mathrm{th}}\)总体分位数大于 q

p 值是二项分布随机变量 Y 小于或等于观测值 T1 的概率。

当 alternative='two-sided' 时，备择假设是

H1：q 不是 \(p^{\mathrm{th}}\) 总体分位数。

和 p 值是 'less' 和 'greater' 的 p 值中小者的两倍。这两个 p 值对于相同的数据都可以超过 0.5，因此将该值截取到区间 \([0, 1]\) 中。

置信区间的计算方法归功于 Thompson [2]，后被证明适用于任何一组 i.i.d. 样本 [3]。计算基于这样一个观察：一个分位数 \(q\) 大于任何观测值 \(x_m (1\leq m \leq N)\) 的概率可计算为

\[\mathbb{P}(x_m \leq q) = 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{N}{k} q^k(1-q)^{N-k}\]

默认情况下，置信区间是针对 95% 的置信水平计算的。对 95% 置信区间的常见解释是，如果 i.i.d. 样本是重复从同一总体中抽取的，并且每次都形成置信区间，那么在大约 95% 的试验中，置信区间将包含指定分位数的真值。

QuantileNPCI R 软件包 [4] 中提供了类似的功能。基础原理相同，但是它通过在样本值之间进行插值来计算置信区间的界限，而此函数仅使用样本值作为界限。因此，quantile_test.confidence_interval 会返回更保守的区间（即更大的）。

分位数置信区间的相同计算方法包含在 confintr 软件包中 [5]。

双侧置信区间并不能保证最优；也就是说，可能存在一个更紧的区间，其包含的分位数比置信水平的概率更大。在不对样本做进一步假设（例如，基础分布的性质）的情况下，单侧区间是最佳紧密的。

引用材料

[1]

23. 10. Conover。实用非参数统计，第 3 版。1999。

[2]

W. R. Thompson，“关于未知分布形式的人口的中值和其他期望分布的置信区间”数学统计年鉴，卷 7，第 3 期，第 122-128 页，1936 年 9 月 18 日访问，[在线]。网址：https://www.jstor.org/stable/2957563。

[3]

H. A. David 和 H. N. Nagaraja，“非参数推论中的顺序统计”在顺序统计中，约翰·威利父子有限公司，2005 年，第 159-170 页。网址：https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/0471722162.ch7。

[4]

N. Hutson、A. Hutson、L. Yan，“QuantileNPCI：分位数的非参数置信区间”，R 软件包，https://cran.r-project.org.cn/package=QuantileNPCI

[5]

M. Mayer，“confintr：置信区间”，R 软件包，https://cran.r-project.org.cn/package=confintr

示例

在浏览器中尝试一下！

假设我们要检验总体中值为 0.5 的无效假设。我们选择 99% 的置信水平；也就是说，如果 p 值小于 0.01，我们将拒绝无效假设，赞成备择假设。

在检验来自中值为 0.5 的标准均匀分布的随机变量时，我们期望数据在大多数情况下都与无效假设一致。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import stats
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> rvs = stats.uniform.rvs(size=100, random_state=rng)
>>> stats.quantile_test(rvs, q=0.5, p=0.5)
QuantileTestResult(statistic=45, statistic_type=1, pvalue=0.36820161732669576)

不出所料，p 值没有低于我们的 0.01 阈值，因此我们无法拒绝无效假设。

在检验来自中值为 0 的标准正态分布的数据时，我们希望无效假设能够被否定。

>>> rvs = stats.norm.rvs(size=100, random_state=rng)
>>> stats.quantile_test(rvs, q=0.5, p=0.5)
QuantileTestResult(statistic=67, statistic_type=2, pvalue=0.0008737198369123724)

实际上，p 值低于 0.01 的阈值，因此我们拒绝无效假设，赞成默认的“双边”备择假设：总体中值不等于 0.5。

但是，假设我们要检验无效假设，且单边备择假设是总体中值大于 0.5。由于标准正态的中值小于 0.5，因此我们预计无效假设不会被拒绝。

>>> stats.quantile_test(rvs, q=0.5, p=0.5, alternative='greater')
QuantileTestResult(statistic=67, statistic_type=1, pvalue=0.9997956114162866)

毫不奇怪，由于 p 值大于我们的阈值，因此我们不会拒绝无效假设，而赞成选择的备择假设。

分位数检验可用于任何分位数，而不仅仅是中值。例如，我们可以检验样本所在分布的第三个四分位数是否大于 0.6。

>>> rvs = stats.uniform.rvs(size=100, random_state=rng)
>>> stats.quantile_test(rvs, q=0.6, p=0.75, alternative='greater')
QuantileTestResult(statistic=64, statistic_type=1, pvalue=0.00940696592998271)

p 值低于阈值。我们拒绝无效假设，赞成备择假设：我们样本所在分布的第三个四分位数大于 0.6。

quantile_test 也可以计算任何分位数的置信区间。

>>> rvs = stats.norm.rvs(size=100, random_state=rng)
>>> res = stats.quantile_test(rvs, q=0.6, p=0.75)
>>> ci = res.confidence_interval(confidence_level=0.95)
>>> ci
ConfidenceInterval(low=0.284491604437432, high=0.8912531024914844)

在检验单边备择假设时，置信区间包含所有观测值，如果作为 q 传递，则检验的 p 值将大于 0.05，因此不会拒绝无效假设。例如

>>> rvs.sort()
>>> q, p, alpha = 0.6, 0.75, 0.95
>>> res = stats.quantile_test(rvs, q=q, p=p, alternative='less')
>>> ci = res.confidence_interval(confidence_level=alpha)
>>> for x in rvs[rvs <= ci.high]:
...     res = stats.quantile_test(rvs, q=x, p=p, alternative='less')
...     assert res.pvalue > 1-alpha
>>> for x in rvs[rvs > ci.high]:
...     res = stats.quantile_test(rvs, q=x, p=p, alternative='less')
...     assert res.pvalue < 1-alpha

此外，如果为随机样本反复生成 95% 的置信区间，则置信区间将在大约 95% 的重复中包含真实分位数值。

>>> dist = stats.rayleigh() # our "unknown" distribution
>>> p = 0.2
>>> true_stat = dist.ppf(p) # the true value of the statistic
>>> n_trials = 1000
>>> quantile_ci_contains_true_stat = 0
>>> for i in range(n_trials):
...     data = dist.rvs(size=100, random_state=rng)
...     res = stats.quantile_test(data, p=p)
...     ci = res.confidence_interval(0.95)
...     if ci[0] < true_stat < ci[1]:
...         quantile_ci_contains_true_stat += 1
>>> quantile_ci_contains_true_stat >= 950
True

只要样本是 i.i.d.，它就适用于任何分布和任何分位数。

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