scipy.integrate.

BDF

class scipy.integrate.BDF(fun, t0, y0, t_bound, max_step=inf, rtol=0.001, atol=1e-06, jac=None, jac_sparsity=None, vectorized=False, first_step=None, **extraneous)

基于后向微分公式的隐式方法。

这是一种可变阶数方法，阶数自动从 1 变化到 5。BDF 算法的通用框架在 [1] 中进行了描述。此类实现了 [2] 中解释的准恒定步长。恒定步长 BDF 的误差估计策略在 [3] 中导出。还实现了使用修改后的公式 (NDF) [2] 的精度增强。

可应用于复数域。

参数:

fun可调用对象

系统的右侧：状态 y 在时间 t 的时间导数。调用签名是 fun(t, y)，其中 t 是一个标量，y 是一个 ndarray，且 len(y) = len(y0)。fun 必须返回一个与 y 形状相同的数组。有关详细信息，请参阅 vectorized。

t0浮点数

初始时间。

y0array_like，形状 (n,)

初始状态。

t_bound浮点数

边界时间 - 积分不会超出此值。它还确定积分的方向。

first_step浮点数或 None，可选

初始步长。默认值为 None，表示算法应选择。

max_step浮点数，可选

允许的最大步长。默认值为 np.inf，即步长不受限制，仅由求解器确定。

rtol, atol浮点数和 array_like，可选

相对容差和绝对容差。求解器保持局部误差估计小于 atol + rtol * abs(y)。此处，rtol 控制相对精度（正确位数），而 atol 控制绝对精度（正确的小数位数）。要实现所需的 rtol，请将 atol 设置为小于从 rtol * abs(y) 中期望的最小值，以便 rtol 控制允许的误差。如果 atol 大于 rtol * abs(y)，则无法保证正确的位数。相反，要实现所需的 atol，请将 rtol 设置为使 rtol * abs(y) 始终小于 atol。如果 y 的分量具有不同的尺度，则可以通过为 atol 传递形状为 (n,) 的 array_like 来为不同的分量设置不同的 atol 值。 rtol 的默认值为 1e-3，atol 的默认值为 1e-6。

jac{None, array_like, sparse_matrix, callable}，可选

系统右侧关于 y 的雅可比矩阵，此方法需要。雅可比矩阵的形状为 (n, n)，其元素 (i, j) 等于 d f_i / d y_j。有三种方法来定义雅可比矩阵

• 如果为 array_like 或 sparse_matrix，则假定雅可比矩阵是常数。

• 如果为可调用对象，则假定雅可比矩阵取决于 t 和 y；将根据需要调用为 jac(t, y)。对于“Radau”和“BDF”方法，返回值可能是稀疏矩阵。

• 如果为 None（默认），则雅可比矩阵将通过有限差分逼近。

通常建议提供雅可比矩阵，而不是依赖有限差分逼近。

jac_sparsity{None, array_like, sparse matrix}，可选

为有限差分逼近定义雅可比矩阵的稀疏结构。其形状必须为 (n, n)。如果 jac 不是 None，则忽略此参数。如果雅可比矩阵在每一行中只有少量非零元素，则提供稀疏结构将大大加快计算速度 [4]。零条目表示雅可比矩阵中的相应元素始终为零。如果为 None（默认），则假定雅可比矩阵是密集的。

vectorized布尔值，可选

fun 是否可以以向量化的方式调用。默认为 False。

如果 vectorized 为 False，则始终使用形状为 (n,) 的 y 调用 fun，其中 n = len(y0)。

如果 vectorized 为 True，则可以使用形状为 (n, k) 的 y 调用 fun，其中 k 是一个整数。在这种情况下，fun 的行为必须使得 fun(t, y)[:, i] == fun(t, y[:, i])（即，返回数组的每一列都是与 y 的一列对应的状态的时间导数）。

设置 vectorized=True 允许此方法更快地进行雅可比矩阵的有限差分逼近，但在某些情况下（例如，较小的 len(y0)）可能会导致整体执行速度变慢。

参考文献

[1]

G. D. Byrne, A. C. Hindmarsh, “用于求解常微分方程的数值多算法”，ACM Transactions on Mathematical Software，第 1 卷，第 1 期，第 71-96 页，1975 年 3 月。

[2] (1,2)

L. F. Shampine, M. W. Reichelt, “MATLAB ODE 套件”，SIAM J. SCI. COMPUTE.，第 18 卷，第 1 期，第 1-22 页，1997 年 1 月。

[3]

E. Hairer, G. Wanner, “求解常微分方程 I：非刚性问题”，第 III.2 节。

[4]

A. Curtis, M. J. D. Powell 和 J. Reid，“关于稀疏雅可比矩阵的估计”，数学及其应用研究所杂志，13，第 117-120 页，1974 年。

属性:

n整数

方程数。

status字符串

求解器的当前状态：“运行”、“已完成”或“失败”。

t_bound浮点数

边界时间。

direction浮点数

积分方向：+1 或 -1。

t浮点数

当前时间。

yndarray

当前状态。

t_old浮点数

上一个时间。如果尚未执行任何步骤，则为 None。

step_size浮点数

最后一次成功步骤的大小。如果尚未执行任何步骤，则为 None。

nfev整数

对右侧的评估次数。

njev整数

对雅可比矩阵的评估次数。

nlu整数

LU 分解的次数。

方法

dense_output()	计算最后一次成功步骤的局部插值。
step()	执行一个积分步骤。