scipy.integrate.

BDF

类 scipy.integrate.BDF(fun, t0, y0, t_bound, max_step=inf, rtol=0.001, atol=1e-06, jac=None, jac_sparsity=None, vectorized=False, first_step=None, **extraneous)

基于后向差分公式的隐式方法。

这是一个可变阶方法，阶数会自动从 1 到 5 变化。BDF 算法的总体框架在 [1] 中描述。这个类实现了一个准恒定步长，如 [2] 所述。恒定步长 BDF 的误差估计策略在 [3] 中推导出来。还实现了使用修改的公式 (NDF) [2] 提高精度的方法。

可以在复杂域中应用。

参数:

fun可调用对象

系统的右手边：状态的时间导数 y 在时间 t 的时候。调用签名是 fun(t, y)，其中 t 是标量，y 是数组，并且 len(y) = len(y0)。 fun 必须返回一个与 y 具有相同形状的数组。有关更多信息，请参阅 vectorized。

t0浮点

初始时间。

y0数组形式，形状为 (n,)

初始状态。

t_bound浮点

边界时间——合并不会在该边界之外继续。它还确定了合并的方向。

first_step浮点或 None，可选

初始步长。默认值为 None，这意味着算法会自行选择。

max_step浮点，可选

允许的最大步长。默认值为 np.inf，即步长不受限制，且完全由求解器决定。

rtol, atol浮点和数组形式，可选

相对和绝对容差。求解器可保留局部误差估计值低于 atol + rtol * abs(y)。其中，rtol 控制相对精度（正确位数），而 atol 控制绝对精度（正确小数位数）。要实现所需 rtol，请将 atol 设置为比 rtol * abs(y) 所能得到的最小值更小，以便 rtol 占主导地位出现允许出现的误差。如果 atol 大于 rtol * abs(y)，则无法保证正确位数。相反，要实现所需的 atol，请设置 rtol，使其使 rtol * abs(y) 一直小于 atol。如果 y 组件具有不同比例，则传入形状为 (n,) 的 array_like 设置不同组件的不同 atol 值可能会有帮助，以获取 atol。对于 rtol，默认值为 1e-3，对于 atol，默认值为 1e-6。

jac{None, array_like, sparse_matrix, callable}, 可选

系统右侧相对于 y 的雅可比矩阵，此方法要求使用此矩阵。雅可比矩阵形状为 (n, n)，且其元素 (i, j) 等于 d f_i / d y_j。定义雅可比分三种方式

• 如果是 array_like 或 sparse_matrix，则认为雅可比不变。

• 如果是 callable，则认为雅可比取决于 t 和 y；它将按需要调用作为 jac(t, y)。对于“Radau”和“BDF”方法，返回值可能是稀疏矩阵。

• 如果是 None（默认值），则将通过有限差分逼近雅可比。

通常建议提供雅可比而不是依靠有限差分逼近。

jac_sparsity{None, array_like, sparse matrix}, 可选

定义有限差分逼近的雅可比矩阵的稀疏性结构。其形状必须为 (n, n)。如果 jac 不为 None，则忽略此参数。如果雅可比中 每个 行的非零元素很少，提供稀疏性结构将极大地加快计算速度 [4]。零条目表示雅可比中对应的元素始终为零。如果为 None（默认值），则认为雅可比很稠密。

vectorized布尔值，可选

是否可以通过矢量化方式调用fun。默认值为 False。

如果vectorized为 False，则始终使用y（形状为(n,)，其中n = len(y0)）调用fun。

如果vectorized为 True，则可以使用y（形状为(n, k)，其中k为一个整数）调用fun。在这种情况下，fun的行为必须使得fun(t, y)[:, i] == fun(t, y[:, i])（即，返回数组的每一列对应于y的一列状态的时间导数）。

通过此方法设置vectorized=True可以较快地近似雅可比行列式的有限差分，但在某些情况下（例如len(y0)较小）整体执行速度会更慢。

参考文献

[1]

G. D. Byrne，A. C. Hindmarsh，“求解常微分方程组的 Polyalgorithm”，ACM 数学软件事务，第 1 卷，第 1 号，第 71-96 页，1975 年 3 月。

[2] (1,2)

L. F. Shampine，M. W. Reichelt，“MATLAB ODE SUITE”，SIAM J. SCI。COMPUTE，第 18 卷，第 1 号，第 1-22 页，1997 年 1 月。

[3]

E. Hairer，G. Wanner，“求解常微分方程 I：非刚性问题”，III.2 节。

[4]

A. Curtis，M. J. D. Powell 和 J. Reid，“关于稀疏雅可比矩阵的估计”，数学及其应用研究所杂志，13，第 117-120 页，1974 年。

属性:

nint

方程数。

status字符串

求解器的当前状态：‘running’，‘finished’ 或 ‘failed’。

t_bound浮点

边界时间。

direction浮点数

积分方向：+1 或 -1。

t浮点数

当前时间。

yndarray

当前状态。

t_old浮点数

上一个时间。如果尚未采取步骤，则为无。。

step_size浮点数

最近成功步骤的大小。如果尚未采取步骤，则为无。

nfevint

右手边评估次数。

njevint

雅可比矩阵评估次数。

nluint

LU 分解次数。

方法

dense_output 的()	根据上一次成功进行的步长计算一个局部中插值。
step()	执行一个积分步长。