基于厄米特插值的累积分布函数反演 (HINV)#
必需：CDF
可选：PDF，dPDF
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HINV 是数值反演的一种变体，其中使用厄米特插值逼近反累积分布函数。也就是说，将区间 [0,1] 分割成若干个区间，在每个区间中，反累积分布函数通过在区间边界处的累积分布函数值和概率密度函数值构建的多项式来近似。这使得可以通过分割特定区间来提高精度，而无需重新计算不受影响的区间。实现了三种类型的样条插值：线性插值、三次插值和五次插值。对于线性插值，只需要累积分布函数。三次插值还需要概率密度函数，而五次插值则需要概率密度函数及其导数。
这些样条必须在设置步骤中计算。但是，它仅适用于具有有界域的分布；对于具有无界域的分布，尾部会被截断，以使尾部区域的概率与给定的 u 分辨率相比很小。
该方法不是精确的，因为它仅产生近似分布的随机变量。但是，“u 方向”上的最大数值误差（即 |U - CDF(X)|，其中 X 是对应于分位数 U 的近似百分位数，即 X = approx_ppf(U)）可以设置为所需的分辨率（在机器精度范围内）。请注意，u 分辨率的值可能非常小，但可能会增加设置步骤的成本。
NumericalInverseHermite 使用厄米特样条逼近连续统计分布的累积分布函数的反函数。可以通过传递 order 参数来指定厄米特样条的阶数。
如 [1] 中所述，它首先在分布支持内的分位数网格 x 处评估分布的 PDF 和 CDF。它使用结果来拟合厄米特样条 H，使得 H(p) == x，其中 p 是与分位数 x 对应的百分位数数组。因此，样条在百分位数 p 处以机器精度逼近分布的 CDF 的反函数，但通常，样条在百分位数点之间的中点处不会那么准确
p_mid = (p[:-1] + p[1:])/2
因此，根据需要细化分位数网格，以将最大“u 误差”
u_error = np.max(np.abs(dist.cdf(H(p_mid)) - p_mid))
降至指定的容差 u_resolution 以下。当达到所需容差或下一个细化后的网格区间数可能超过最大允许区间数 (100000) 时，细化停止。
>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats.sampling import NumericalInverseHermite
>>> from scipy.stats import norm, genexpon
>>> from scipy.special import ndtr
要创建从标准正态分布采样的生成器，请执行以下操作
>>> class StandardNormal:
... def pdf(self, x):
... return 1/np.sqrt(2*np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)
... def cdf(self, x):
... return ndtr(x)
...
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, random_state=urng)
NumericalInverseHermite 有一种方法可以逼近分布的 PPF。
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist)
>>> p = np.linspace(0.01, 0.99, 99) # percentiles from 1% to 99%
>>> np.allclose(rng.ppf(p), norm.ppf(p))
True
根据分布的随机抽样方法的实现，在给定相同的随机状态的情况下，生成的随机变量可能几乎相同。
>>> dist = genexpon(9, 16, 3)
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist)
>>> # `seed` ensures identical random streams are used by each `rvs` method
>>> seed = 500072020
>>> rvs1 = dist.rvs(size=100, random_state=np.random.default_rng(seed))
>>> rvs2 = rng.rvs(size=100, random_state=np.random.default_rng(seed))
>>> np.allclose(rvs1, rvs2)
True
为了检查随机变量是否紧密遵循给定的分布，我们可以查看其直方图
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, random_state=urng)
>>> rvs = rng.rvs(10000)
>>> x = np.linspace(rvs.min()-0.1, rvs.max()+0.1, 1000)
>>> fx = norm.pdf(x)
>>> plt.plot(x, fx, 'r-', lw=2, label='true distribution')
>>> plt.hist(rvs, bins=20, density=True, alpha=0.8, label='random variates')
>>> plt.xlabel('x')
>>> plt.ylabel('PDF(x)')
>>> plt.title('Numerical Inverse Hermite Samples')
>>> plt.legend()
>>> plt.show()
给定 PDF 相对于变量（即 x）的导数，我们可以通过传递 order 参数来使用五次厄米特插值来逼近 PPF
>>> class StandardNormal:
... def pdf(self, x):
... return 1/np.sqrt(2*np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)
... def dpdf(self, x):
... return -1/np.sqrt(2*np.pi) * x * np.exp(-x**2 / 2)
... def cdf(self, x):
... return ndtr(x)
...
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, order=5, random_state=urng)
阶数越高，区间数越少
>>> rng3 = NumericalInverseHermite(dist, order=3)
>>> rng5 = NumericalInverseHermite(dist, order=5)
>>> rng3.intervals, rng5.intervals
(3000, 522)
可以通过调用 u_error 方法来估计 u 误差。它运行一个小型的蒙特卡罗模拟来估计 u 误差。默认情况下，使用 100,000 个样本。可以通过传递 sample_size 参数来更改此值
>>> rng1 = NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-10)
>>> rng1.u_error(sample_size=1000000) # uses one million samples
UError(max_error=9.53167544892608e-11, mean_absolute_error=2.2450136432146864e-11)
这将返回一个命名元组，其中包含最大 u 误差和平均绝对 u 误差。
可以通过降低 u 分辨率（最大允许 u 误差）来减小 u 误差
>>> rng2 = NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-13)
>>> rng2.u_error(sample_size=1000000)
UError(max_error=9.32027892364129e-14, mean_absolute_error=1.5194172675685075e-14)
请注意，这会因设置时间和区间数的增加而导致计算时间增加。
>>> rng1.intervals
1022
>>> rng2.intervals
5687
>>> from timeit import timeit
>>> f = lambda: NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-10)
>>> timeit(f, number=1)
0.017409582000254886 # may vary
>>> f = lambda: NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-13)
>>> timeit(f, number=1)
0.08671202100003939 # may vary