简单均匀比法 (SROU)#

必需：PDF，如果 PDF 下的面积不等于 1，则需要该面积
可选：模式，模式处的 CDF
速度
- 设置：快
- 采样：慢

SROU 基于均匀比法，该方法使用通用不等式来构建一个（通用）边界矩形。它适用于 T 凹分布，其中 T(x) = -1/sqrt(x)。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats.sampling import SimpleRatioUniforms

假设我们有正态分布

>>> class StdNorm:
...     def pdf(self, x):
...         return np.exp(-0.5 * x**2)

请注意，PDF 并不积分为 1。我们可以在初始化生成器时传递 PDF 下的精确面积，或者传递 PDF 下的精确面积的上界。此外，建议传递分布的模式以加快设置速度

>>> urng = np.random.default_rng()
>>> dist = StdNorm()
>>> rng = SimpleRatioUniforms(dist, mode=0,
...                           pdf_area=np.sqrt(2*np.pi),
...                           random_state=urng)

现在，我们可以使用 rvs 方法从分布中生成样本

>>> rvs = rng.rvs(10)

如果模式处的 CDF 可用，可以设置它以提高 rvs 的性能

>>> from scipy.stats import norm
>>> rng = SimpleRatioUniforms(dist, mode=0,
...                           pdf_area=np.sqrt(2*np.pi),
...                           cdf_at_mode=norm.cdf(0),
...                           random_state=urng)
>>> rvs = rng.rvs(1000)

我们可以通过可视化其直方图来检查样本是否来自给定的分布

>>> from scipy.stats.sampling import SimpleRatioUniforms
>>> from scipy.stats import norm
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> class StdNorm:
...     def pdf(self, x):
...         return np.exp(-0.5 * x**2)
...
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> dist = StdNorm()
>>> rng = SimpleRatioUniforms(dist, mode=0,
...                           pdf_area=np.sqrt(2*np.pi),
...                           cdf_at_mode=norm.cdf(0),
...                           random_state=urng)
>>> rvs = rng.rvs(1000)
>>> x = np.linspace(rvs.min()-0.1, rvs.max()+0.1, 1000)
>>> fx = 1/np.sqrt(2*np.pi) * dist.pdf(x)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(x, fx, 'r-', lw=2, label='true distribution')
>>> ax.hist(rvs, bins=10, density=True, alpha=0.8, label='random variates')
>>> ax.set_xlabel('x')
>>> ax.set_ylabel('PDF(x)')
>>> ax.set_title('Simple Ratio-of-Uniforms Samples')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()

该方法的主要优点是设置速度快。如果需要重复生成形状参数不同的分布的小到中等样本，这将非常有用。在这种情况下，sampling.NumericalInverseHermite 或 sampling.NumericalInversePolynomial 的设置步骤会导致性能下降。例如，假设我们有兴趣为由 np.arange(1.5, 5, 1000) 给出的 1000 个不同的形状参数生成伽马分布的 100 个样本。

>>> import math
>>> class GammaDist:
...     def __init__(self, p):
...         self.p = p
...     def pdf(self, x):
...         return x**(self.p-1) * np.exp(-x)
...
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> p = np.arange(1.5, 5, 1000)
>>> res = np.empty((1000, 100))
>>> for i in range(1000):
...     dist = GammaDist(p[i])
...     rng = SimpleRatioUniforms(dist, mode=p[i]-1,
...                               pdf_area=math.gamma(p[i]),
...                               random_state=urng)
...     with np.testing.suppress_warnings() as sup:
...         sup.filter(RuntimeWarning, "invalid value encountered in double_scalars")
...         sup.filter(RuntimeWarning, "overflow encountered in exp")
...         res[i] = rng.rvs(100)

有关详细信息，请参阅 [1]、[2] 和 [3]。

简单均匀比法 (SROU)#

参考文献#