Fligner-Killeen方差相等性检验#
在[1]中，研究了维生素C对豚鼠牙齿生长的影响。在一项对照研究中，60只受试豚鼠被分为小剂量、中剂量和大剂量组，分别每日接受0.5、1.0和2.0毫克维生素C。42天后，测量了牙齿生长情况。
下面的small_dose、medium_dose和large_dose数组记录了三个组的牙齿生长测量值（以微米为单位）。
import numpy as np
small_dose = np.array([
4.2, 11.5, 7.3, 5.8, 6.4, 10, 11.2, 11.2, 5.2, 7,
15.2, 21.5, 17.6, 9.7, 14.5, 10, 8.2, 9.4, 16.5, 9.7
])
medium_dose = np.array([
16.5, 16.5, 15.2, 17.3, 22.5, 17.3, 13.6, 14.5, 18.8, 15.5,
19.7, 23.3, 23.6, 26.4, 20, 25.2, 25.8, 21.2, 14.5, 27.3
])
large_dose = np.array([
23.6, 18.5, 33.9, 25.5, 26.4, 32.5, 26.7, 21.5, 23.3, 29.5,
25.5, 26.4, 22.4, 24.5, 24.8, 30.9, 26.4, 27.3, 29.4, 23
])
Fligner-Killeen统计量（scipy.stats.fligner）对样本间方差的差异敏感。
from scipy import stats
res = stats.fligner(small_dose, medium_dose, large_dose)
res.statistic
np.float64(1.3878943408857916)
当方差差异较大时，统计量的值往往较高。
我们可以通过将观察到的统计量值与零分布（即在三个组的总体方差相等的零假设下得出的统计量值分布）进行比较，来检验各组方差的不等性。
对于此检验，零分布遵循下方所示的卡方分布。
import matplotlib.pyplot as plt
k = 3 # number of samples
dist = dist = stats.chi2(df=k-1)
val = np.linspace(0, 8, 100)
pdf = dist.pdf(val)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
def plot(ax): # we'll reuse this
ax.plot(val, pdf, color='C0')
ax.set_title("Fligner Test Null Distribution")
ax.set_xlabel("statistic")
ax.set_ylabel("probability density")
ax.set_xlim(0, 8)
ax.set_ylim(0, 0.5)
plot(ax)
plt.show()
比较通过p值量化：p值是零分布中大于或等于观察到的统计量值的比例。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
pvalue = dist.sf(res.statistic)
annotation = (f'p-value={pvalue:.4f}\n(shaded area)')
props = dict(facecolor='black', width=1, headwidth=5, headlength=8)
_ = ax.annotate(annotation, (1.5, 0.22), (2.25, 0.3), arrowprops=props)
i = val >= res.statistic
ax.fill_between(val[i], y1=0, y2=pdf[i], color='C0')
plt.show()
res.pvalue
np.float64(0.49960016501182125)
如果p值“很小”——即，从具有相同方差的分布中采样数据却产生如此极端的统计量值的概率很低——这可以作为反对零假设，支持备择假设（即各组方差不相等）的证据。请注意，
反之不成立；也就是说，此检验不用于提供支持零假设的证据。
将哪些值视为“小”的阈值应在数据分析之前确定[2]，并应考虑假阳性（错误地拒绝零假设）和假阴性（未能拒绝错误的零假设）的风险。
小的p值并非大效应的证据；相反，它们只能提供“显著”效应的证据，这意味着它们在零假设下不太可能发生。
请注意，卡方分布提供了零分布的渐近近似。对于小样本，执行置换检验可能更合适：在零假设下，即所有三个样本都来自同一总体，每个测量值在三个样本中被观察到的可能性是相等的。因此，我们可以通过在许多随机生成的观测值到三个样本的划分下计算统计量来形成一个随机零分布。
def statistic(*samples):
return stats.fligner(*samples).statistic
ref = stats.permutation_test(
(small_dose, medium_dose, large_dose), statistic,
permutation_type='independent', alternative='greater'
)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
bins = np.linspace(0, 8, 25)
ax.hist(
ref.null_distribution, bins=bins, density=True, facecolor="C1"
)
ax.legend(['asymptotic approximation\n(many observations)',
'randomized null distribution'])
plot(ax)
plt.show()
ref.pvalue # randomized test p-value
np.float64(0.4294)
请注意，此处计算的p值与上方scipy.stats.fligner返回的渐近近似值之间存在显著差异。从置换检验中可以严格得出的统计推断是有限的；尽管如此，在许多情况下，它们可能是首选方法[3]。