卡方分布#
这是 \(L=0.0\) 和 \(S=2.0\) 以及 \(\alpha=\nu/2\) 的伽玛分布，其中 \(\nu\) 被称为自由度。如果 \(Z_{1}\ldots Z_{\nu}\) 都是标准正态分布，那么 \(W=\sum_{k}Z_{k}^{2}\) 具有自由度为 \(\nu\) 的（标准）卡方分布。
标准形式（最常用于标准形式）的支持度为 \(x\geq0\)。
\begin{eqnarray*} f\left(x;\alpha\right) & = & \frac{1}{2\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu/2-1}e^{-x/2}\\ F\left(x;\alpha\right) & = & \frac{\gamma\left(\frac{\nu}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\\ G\left(q;\alpha\right) & = & 2\gamma^{-1}\left(\frac{\nu}{2},q{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\right)\end{eqnarray*}
其中 \(\gamma\) 是下不完全伽玛函数，\(\gamma\left(s, x\right) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt\)。
\[M\left(t\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}-t\right)^{\nu/2}}\]
\begin{eqnarray*} \mu & = & \nu\\ \mu_{2} & = & 2\nu\\ \gamma_{1} & = & \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\nu}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{12}{\nu}\\ m_{d} & = & \frac{\nu}{2}-1\end{eqnarray*}