巴特利特方差齐性检验#

在 [1] 中，研究了维生素 C 对豚鼠牙齿生长的影响。在一项对照研究中，60 名受试者被分为小剂量组、中剂量组和大剂量组，分别每日接受 0.5、1.0 和 2.0 毫克的维生素 C。42 天后，测量牙齿的生长情况。

下面的 small_dose、medium_dose 和 large_dose 数组记录了三个组的牙齿生长测量值，单位为微米。

import numpy as np
small_dose = np.array([
    4.2, 11.5, 7.3, 5.8, 6.4, 10, 11.2, 11.2, 5.2, 7,
    15.2, 21.5, 17.6, 9.7, 14.5, 10, 8.2, 9.4, 16.5, 9.7
])
medium_dose = np.array([
    16.5, 16.5, 15.2, 17.3, 22.5, 17.3, 13.6, 14.5, 18.8, 15.5,
    19.7, 23.3, 23.6, 26.4, 20, 25.2, 25.8, 21.2, 14.5, 27.3
])
large_dose = np.array([
    23.6, 18.5, 33.9, 25.5, 26.4, 32.5, 26.7, 21.5, 23.3, 29.5,
    25.5, 26.4, 22.4, 24.5, 24.8, 30.9, 26.4, 27.3, 29.4, 23
])

scipy.stats.bartlett 统计量对样本之间的方差差异很敏感。

from scipy import stats
res = stats.bartlett(small_dose, medium_dose, large_dose)
res.statistic

0.6654670663030519

当方差存在较大差异时，统计量的值往往会很高。

我们可以通过将观察到的统计量值与零分布进行比较来检验各组之间的方差不等性：零分布是在三个组的总体方差相等的零假设下导出的统计量值分布。

对于此检验，零分布遵循卡方分布，如下所示。

import matplotlib.pyplot as plt
k = 3  # number of samples
dist = dist = stats.chi2(df=k-1)
val = np.linspace(0, 5, 100)
pdf = dist.pdf(val)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))

def plot(ax):  # we'll reuse this
    ax.plot(val, pdf, color='C0')
    ax.set_title("Bartlett Test Null Distribution")
    ax.set_xlabel("statistic")
    ax.set_ylabel("probability density")
    ax.set_xlim(0, 5)
    ax.set_ylim(0, 1)

plot(ax)
plt.show()

../../_images/ff07d218d37bbaa25902995f8cbe96fc19d426a218af099fd214de4a0183afab.png

该比较通过 p 值进行量化：零分布中大于或等于观察到的统计量值的比例。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
pvalue = dist.sf(res.statistic)
annotation = (f'p-value={pvalue:.3f}\n(shaded area)')
props = dict(facecolor='black', width=1, headwidth=5, headlength=8)
_ = ax.annotate(annotation, (1.5, 0.22), (2.25, 0.3), arrowprops=props)
i = val >= res.statistic
ax.fill_between(val[i], y1=0, y2=pdf[i], color='C0')
plt.show()

../../_images/cbce01894a9acfe92828e6e67772632c61726daa8fd1c23069ce0a36b30af448.png

res.pvalue

0.71696121509966

如果 p 值“小”——也就是说，如果从具有相同方差的分布中抽取数据以产生如此极端的统计量值的概率很低——这可以作为反对零假设的证据，转而支持备择假设：各组的方差不相等。请注意

反之则不然；也就是说，该检验不用来为零假设提供证据。
将要被认为是“小”的值的阈值应在分析数据之前确定 [2]，并考虑假阳性（错误地拒绝零假设）和假阴性（未能拒绝错误的零假设）的风险。
小的 p 值不是大的效应的证据；相反，它们只能为“显著”效应提供证据，这意味着它们不太可能在零假设下发生。

请注意，当观测值呈正态分布时，卡方分布提供零分布。对于从非正态总体中抽取的小样本，执行置换检验可能更合适：在所有三个样本均来自同一总体的零假设下，每个测量值在三个样本中的任何一个中被观察到的可能性均等。因此，我们可以通过在观测值随机生成的许多分区中计算统计量来形成随机零分布，将其划分为三个样本。

def statistic(*samples):
    return stats.bartlett(*samples).statistic
ref = stats.permutation_test(
    (small_dose, medium_dose, large_dose), statistic,
    permutation_type='independent', alternative='greater'
)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
bins = np.linspace(0, 5, 25)
ax.hist(
    ref.null_distribution, bins=bins, density=True, facecolor="C1"
)
ax.legend(['asymptotic approximation\n(many observations)',
           'randomized null distribution'])
plot(ax)
plt.show()

../../_images/0ab7086a142d1f276affb0dd76880304bcbab6cfbb940adf109fec12534133f5.png

ref.pvalue  # randomized test p-value

0.5432

请注意，此处计算的 p 值与 scipy.stats.bartlett 上面返回的渐近近似值之间存在显着差异。从置换检验中严格得出的统计推断是有限的；尽管如此，在许多情况下，它们可能是首选方法 [3]。

巴特利特方差齐性检验#

参考文献#