Yule-Simon 分布#
一个参数为 \(\alpha>0\) 的 Yule-Simon 随机变量可以表示为指数随机变量的混合。要看到这一点，将 \(W\) 写为速率为 \(\rho\) 的指数随机变量，以及一个概率为 \(1-exp(-W)\) 的几何随机变量 \(K\)，则 \(K\) 边缘地具有 Yule-Simon 分布。上述描述的潜在变量表示用于随机变量生成。
\begin{eqnarray*} p \left( k; \alpha \right) & = & \alpha \frac{\Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)} \\ F \left( k; \alpha \right) & = & 1 - \frac{ k \Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)} \end{eqnarray*}
对于 \(k = 1,2,...\).
现在
\begin{eqnarray*} \mu & = & \frac{\alpha}{\alpha-1}\\ \mu_{2} & = & \frac{\alpha^2}{\left(\alpha-1\right)^2\left( \alpha - 2 \right)}\\ \gamma_{1} & = & \frac{ \sqrt{\left( \alpha - 2 \right)} \left( \alpha + 1 \right)^2}{ \alpha \left( \alpha - 3 \right)}\\ \gamma_{2} & = & \frac{ \left(\alpha + 3\right) + \left(\alpha^3 - 49\alpha - 22\right)}{\alpha \left(\alpha - 4\right)\left(\alpha - 3 \right) } \end{eqnarray*}
对于 \(\alpha>1\)，否则均值为无穷大，方差不存在。对于方差，\(\alpha>2\)，否则方差不存在。类似地，为了使偏度和峰度有限，\(\alpha>3\) 和 \(\alpha>4\) 分别。