Wallenius' 非中心超几何分布#
一个随机变量具有参数为
\(M \in {\mathbb N}\), \(n \in [0, M]\), \(N \in [0, M]\), \(\omega > 0\),
的 Wallenius' 非中心超几何分布，如果它的概率质量函数由下式给出
\[p(x; N, n, M) = \binom{n}{x} \binom{M - n}{N-x}\int_0^1 \left(1-t^{\omega/D}\right)^x\left(1-t^{1/D}\right)^{N-x} dt\]
对于 \(x \in [x_l, x_u]\)，其中 \(x_l = \max(0, N - (M - n))\), \(x_u = \min(N, n)\),
\[D = \omega(n - x) + ((M - n)-(N-x)),\]
二项式系数为
\[\binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}.\]
参考资料#
Agner Fog，“偏置瓮理论”https://cran.r-project.org.cn/web/packages/BiasedUrn/vignettes/UrnTheory.pdf
“Wallenius' 非中心超几何分布”，维基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Wallenius’_noncentral_hypergeometric_distribution