费舍尔非中心超几何分布#
一个随机变量具有参数为
\(M \in {\mathbb N}\), \(n \in [0, M]\), \(N \in [0, M]\), \(\omega > 0\),
的费舍尔非中心超几何分布，如果其概率质量函数由下式给出
\[p(x; M, n, N, \omega) = \frac{\binom{n}{x}\binom{M - n}{N-x}\omega^x}{P_0},\]
对于 \(x \in [x_l, x_u]\)，其中 \(x_l = \max(0, N - (M - n))\), \(x_u = \min(N, n)\),
\[P_k = \sum_{y=x_l}^{x_u} \binom{n}{y} \binom{M - n}{N-y} \omega^y y^k,\]
二项式系数为
\[\binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}.\]
该分布的其他函数为
\begin{eqnarray*} \mu & = & \frac{P_0}{P_1},\\ \mu_{2} & = & \frac{P_2}{P_0} - \left(\frac{P_1}{P_0}\right)^2,\\ \end{eqnarray*}
参考文献#
Agner Fog， “偏置瓮理论” https://cran.r-project.org.cn/web/packages/BiasedUrn/vignettes/UrnTheory.pdf
“费舍尔非中心超几何分布”，维基百科， https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher’s_noncentral_hypergeometric_distribution