截断帕累托分布#
两个形状参数，指数 \(b>0\) 和上限截断 \(c>1\)。支持范围为 \(1\leq x \leq c\)。
标准形式为
\begin{eqnarray*} f\left(x;b, c\right) & = & \frac{b}{1 - c^{-b}}\frac{1}{x^{b+1}}\\ F\left(x;b, c\right) & = & \frac{1 - x^{-b}}{1 - c^{-b}} \\ G\left(q;b, c\right) & = & \left(1 - \left(1 - c^{-b}\right)q\right)^{-1/b}.\end{eqnarray*}
非中心矩由下式给出
\[\begin{split}\mu_{n}^{\prime} = \begin{cases}\displaystyle\frac{b\log c}{1 - c^{-b}} & \mbox{if $n = b$,}\\ \displaystyle\frac{b}{b-n}\frac{c^b - c^n}{c^b - 1} & \mbox{otherwise.}\end{cases}\end{split}\]
熵为
\[h\left(X\right)= -\left[\log\left(\frac{b}{1 - c^{-b}}\right) + (b+1)\left(\frac{\log c}{c^b - 1} - \frac{1}{b}\right)\right].\]