KStwobign 分布

这是由 \(n\) 个样本或观测值计算出的经验分布函数与比较（或目标）累积分布函数之间归一化最大绝对差的极限分布。（ksone 是未归一化的正差的分布，\(D_n^+\)。）

写作 \(D_n = \sup_t \left|F_{empirical,n}(t) - F_{target}(t)\right|\)，归一化因子是 \(\sqrt{n}\)，并且 kstwobign 是 \(\sqrt{n} D_n\) 值在 \(n\rightarrow\infty\) 时的极限分布。

请注意，\(D_n=\max(D_n^+, D_n^-)\)，但 \(D_n^+\) 和 \(D_n^-\) 不是独立的。

kstwobign 也可以用于两个经验分布函数之间的差异，对于分别具有 \(m\) 和 \(n\) 个样本的观测集，其中 \(m\) 和 \(n\) 是“大的”。写作 \(D_{m,n} = \sup_t \left|F_{1,m}(t)-F_{2,n}(t)\right|\)，其中 \(F_{1,m}\) 和 \(F_{2,n}\) 是两个经验分布函数，则 kstwobign 也是 \(\sqrt{\frac{mn}{m+n}}D_{m,n}\) 值在 \(m,n\rightarrow\infty\) 和 \(m/n\rightarrow a \ne 0, \infty\) 时的极限分布。

没有形状参数，支持范围是 \(x\in\left[0,\infty\right)\)。

\begin{eqnarray*} F\left(x\right) & = & 1 - 2 \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} e^{-2k^2 x^2}\\ & = & \frac{\sqrt{2\pi}}{x} \sum_{k=1}^{\infty} e^{-(2k-1)^2 \pi^2/(8x^2)}\\ & = & 1 - \textrm{scipy.special.kolmogorov}(n, x) \\ f\left(x\right) & = & 8x \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} k^2 e^{-2k^2 x^2} \end{eqnarray*}

参考文献

• “柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验”，维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov-Smirnov_test

• Kolmogoroff, A. “未知分布函数的置信限”。”Ann. Math. Statist. 12 (1941), no. 4, 461–463.

• Smirnov, N. “关于两个独立样本的经验分布曲线之间的差异的估计” Bull. Math. Univ. Moscou., 2 (1039), 2-26。

• Feller, W. “关于经验分布的柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫极限定理。” Ann. Math. Statist. 19 (1948), no. 2, 177–189. 和 “勘误表” Ann. Math. Statist. 21 (1950), no. 2, 301–302。

实现：scipy.stats.kstwobign