KSone 分布#
这是从 \(n\) 个样本或观测值计算得出的经验分布函数与比较（或目标）累积分布函数之间的最大正差的分布。
写 \(D_n^+ = \sup_t \left(F_{empirical,n}(t)-F_{target}(t)\right)\)，ksone 是 \(D_n^+\) 值的分布。（\(D_n^- = \sup_t \left(F_{target}(t)-F_{empirical,n}(t)\right)\) 差值的分布遵循相同的分布，因此 ksone 可用于对任一侧进行单边检验。）
有一个形状参数 \(n\)，一个正整数，并且支持为 \(x\in\left[0,1\right]\).
\begin{eqnarray*} F\left(n, x\right) & = & 1 - \sum_{j=0}^{\lfloor n(1-x)\rfloor} \dbinom{n}{j} x \left(x+\frac{j}{n}\right)^{j-1} \left(1-x-\frac{j}{n}\right)^{n-j}\\ & = & 1 - \textrm{scipy.special.smirnov}(n, x) \\ \lim_{n \rightarrow\infty} F\left(n, \frac{x}{\sqrt n}\right) & = & e^{-2 x^2} \end{eqnarray*}
参考文献#
“Kolmogorov-Smirnov 检验”，维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov-Smirnov_test
Birnbaum, Z. W.; Tingey, Fred H. “概率分布函数的单边置信度轮廓。” *Ann. Math. Statist*. 22 (1951)，第 4 号，592-596。