Jones and Faddy 偏斜 T 分布#
一个 t 分布的偏斜扩展，定义为 \(a>0\) 和 \(b>0\)。
\begin{eqnarray*} f(x;a,b) & = & C_{a,b}^{-1} \left(1+\frac{x}{\left(a+b+x^2\right)^{1/2}}\right)^{a+1/2} \left(1-\frac{x}{\left(a+b+x^2\right)^{1/2}}\right)^{b+1/2} \\ F(x;a,b) & = & I\left(\frac{1+x(a+b+x^2)^{-1/2}}{2};a,b\right) \\ \mu_{n}^{\prime} & = & \frac{(a+b)^{n/2}}{2^nB(a,b)}\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^iB\left(a+\frac{n}{2}-i, b-\frac{n}{2}+i\right) \end{eqnarray*}
其中 \(C_{a,b}=2^{a+b-1}B(a,b)(a+b)^{1/2}\)， \(B\) 是 beta 函数 scipy.special.beta 并且对于矩 \(\mu_{n}^{\prime}\) 的公式成立，前提是 \(a>n/2\) 和 \(b>n/2\)。
当 \(a<b\) 时，分布是负偏的，当 \(a>b\) 时，分布是正偏的。 如果 \(a=b\)，那么我们就恢复了自由度为 \(2a\) 的 t 分布。
参考资料#
M.C. Jones 和 M.J. Faddy。“t 分布的偏斜扩展及其应用” Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Statistical Methodology) 65, no. 1 (2003): 159-174. DOI:10.1111/1467-9868.00378