泊松分布#
泊松随机变量计算了 \(n\) 个独立伯努利试验中成功的次数，当 \(n\rightarrow\infty\) 且 \(p\rightarrow0\) 时，其中每次试验的成功概率为 \(p\)，且 \(np=\lambda\geq0\) 是一个常数。它可以用来近似二项式随机变量，或者本身用来计算满足某些“稀疏”约束的进程在 \(\left[0,t\right]\) 区间内发生的事件数量。这些函数是
\begin{eqnarray*} p\left(k;\lambda\right) & = & e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\quad k\geq0,\\ F\left(x;\lambda\right) & = & \sum_{n=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor }e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}=\frac{1}{\Gamma\left(\left\lfloor x\right\rfloor +1\right)}\int_{\lambda}^{\infty}t^{\left\lfloor x\right\rfloor }e^{-t}dt,\\ \mu & = & \lambda\\ \mu_{2} & = & \lambda\\ \gamma_{1} & = & \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{1}{\lambda}.\end{eqnarray*}
\[M\left(t\right)=\exp\left[\lambda\left(e^{t}-1\right)\right].\]