负二项分布#
具有参数 \(n\) 和 \(p\in\left(0,1\right)\) 的负二项随机变量可以定义为为了累积总数为 \(n\) 的成功所需进行的额外独立试验次数（超过 \(n\) ），其中每次试验成功的概率为 \(p.\) 等效地，此随机变量是在独立试验中累计 \(n\) 次成功时遇到的失败次数，每次试验成功的概率为 \(p.\) 因此，
\begin{eqnarray*} p\left(k;n,p\right) & = & \left(\begin{array}{c} k+n-1\\ n-1\end{array}\right)p^{n}\left(1-p\right)^{k}\quad k\geq0\\ F\left(x;n,p\right) & = & \sum_{i=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor }\left(\begin{array}{c} i+n-1\\ i\end{array}\right)p^{n}\left(1-p\right)^{i}\quad x\geq0\\ & = & I_{p}\left(n,\left\lfloor x\right\rfloor +1\right)\quad x\geq0\\ \mu & = & n\frac{1-p}{p}\\ \mu_{2} & = & n\frac{1-p}{p^{2}}\\ \gamma_{1} & = & \frac{2-p}{\sqrt{n\left(1-p\right)}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{p^{2}+6\left(1-p\right)}{n\left(1-p\right)}.\end{eqnarray*}
回想一下，\(I_{p}\left(a,b\right)\) 是不完全贝塔积分。