冯·米塞斯分布#
有一个形状参数 \(\kappa>0\)，其支持范围为 \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\)。对于 \(\kappa<100\) 的值，使用以下的 PDF 和 CDF 公式。否则，使用方差为 \(1/\kappa\) 的正态近似。[注意，以下的 PDF 和 CDF 函数是周期性的，周期为 \(2\pi\)。如果给定一个不在 \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\) 范围内的输入，它将被转换为该范围内的等效角度。]
\begin{eqnarray*} f\left(x;\kappa\right) & = & \frac{e^{\kappa\cos x}}{2\pi I_{0}\left(\kappa\right)}\\ F\left(x;\kappa\right) & = & \frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{I_{k}\left(\kappa\right)\sin\left(kx\right)}{I_{0}\left(\kappa\right)\pi k}\\ G\left(q; \kappa\right) & = & F^{-1}\left(x;\kappa\right)\end{eqnarray*}
其中 \(I_{k}(\kappa)\) 是第一类修正贝塞尔函数。
\begin{eqnarray*} \mu & = & 0\\ \mu_{2} & = & \int_{-\pi}^{\pi}x^{2}f\left(x;\kappa\right)dx\\ \gamma_{1} & = & 0\\ \gamma_{2} & = & \frac{\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}f\left(x;\kappa\right)dx}{\mu_{2}^{2}}-3\end{eqnarray*}
这可以用于定义圆形方差。