偏斜柯西分布#
该分布是柯西分布的推广。它有一个形状参数 \(-1 < a < 1\)，用于偏斜分布。特殊情况 \(a=0\) 产生柯西分布。
函数#
\begin{eqnarray*} f(x, a) & = & \frac{1}{\pi \left(\frac{x^2}{\left(a x + 1 \right)^2} + 1 \right)},\quad x\ge0; \\ & = & \frac{1}{\pi \left(\frac{x^2}{\left(-a x + 1 \right)^2} + 1 \right)},\quad x<0. \\ F(x, a) & = & \frac{1 - a}{2} + \frac{1 + a}{\pi} \arctan\left(\frac{x}{1 + a} \right),\quad x\ge0; \\ & = & \frac{1 - a}{2} + \frac{1 - a}{\pi} \arctan\left(\frac{x}{1 - a} \right),\quad x<0. \end{eqnarray*}
均值、方差、偏度和峰度都是未定义的。