对数正态（Cobb-Douglass）分布#
具有一个形状参数 \(\sigma\) >0。（请注意，“回归”\(A=\log S\)，其中 \(S\) 是比例参数，\(A\) 是底层正态分布的均值）。支持范围是 \(x\geq0\)。
\begin{eqnarray*} f\left(x;\sigma\right) & = & \frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)^{2}\right)\\ F\left(x;\sigma\right) & = & \Phi\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)\\ G\left(q;\sigma\right) & = & \exp\left( \sigma\Phi^{-1}\left(q\right)\right) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \mu & = & \exp\left(\sigma^{2}/2\right)\\ \mu_{2} & = & \exp\left(\sigma^{2}\right)\left[\exp\left(\sigma^{2}\right)-1\right]\\ \gamma_{1} & = & \sqrt{p-1}\left(2+p\right)\\ \gamma_{2} & = & p^{4}+2p^{3}+3p^{2}-6\quad\quad p=e^{\sigma^{2}}\end{eqnarray*}
请注意，使用 JKB 符号，我们有 \(\theta=L,\) \(\zeta=\log S\)，并且我们给出了分布的所谓的反对数正态形式。这更符合一般概率分布的位置、比例参数描述。
\[h\left[X\right]=\frac{1}{2}\left[1+\log\left(2\pi\right)+2\log\left(\sigma\right)\right].\]
另请注意，如果 \(X\) 是一个对数正态分布的随机变量，其中 \(L=0\) 和 \(S\) 和形状参数 \(\sigma.\) 那么，\(\log X\) 服从正态分布，方差为 \(\sigma^{2}\)，均值为 \(\log S.\)