逆正态（逆高斯）分布#
标准形式涉及形状参数 \(\mu\) (在大多数定义中，使用 \(L=0.0\))。 （根据回归文档，\(\mu=A/B\) ) 和 \(B=S\) 且 \(L\) 不是该分布中的参数。标准形式为 \(x>0\)
\begin{eqnarray*} f\left(x;\mu\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi x^{3}}}\exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2x\mu^{2}}\right).\\ F\left(x;\mu\right) & = & \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x-\mu}{\mu}\right)+\exp\left(\frac{2}{\mu}\right)\Phi\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x+\mu}{\mu}\right)\\ G\left(q;\mu\right) & = & F^{-1}\left(q;\mu\right)\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \mu & = & \mu\\ \mu_{2} & = & \mu^{3}\\ \gamma_{1} & = & 3\sqrt{\mu}\\ \gamma_{2} & = & 15\mu\\ m_{d} & = & \frac{\mu}{2}\left(\sqrt{9\mu^{2}+4}-3\mu\right)\end{eqnarray*}
当以其完整形式编写时，这与规范形式或 JKB “双参数” 逆高斯相关，比例参数为 \(S\) 和位置参数为 \(L\)，通过取 \(L=0\) 和 \(S\equiv\lambda,\)，则 \(\mu S\) 等于 \(\mu_{2}\)，其中 \(\mu_{2}\) 是 JKB 使用的参数。 我们更喜欢这种形式，因为它一致地使用比例参数。 请注意，在 JKB 中，偏度 \(\left(\sqrt{\beta_{1}}\right)\) 和峰度 ( \(\beta_{2}-3\) ) 都是 \(\mu_{2}/\lambda=\mu S/S=\mu\) 的函数，如此处所示，而标准形式的方差和平均值在这里被适当地转换。