半柯西分布#
如果 \(Z\) 服从双曲正割分布，则 \(e^{Z}\) 服从半柯西分布。此外，如果 \(W\) 服从（标准）柯西分布，则 \(\left|W\right|\) 服从半柯西分布。这是折叠柯西分布的特殊情况，其中 \(c=0.\) 它的支持区域为 \(x\geq0\)。标准形式如下：
\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & \frac{2}{\pi\left(1+x^{2}\right)} \\ F\left(x\right) & = & \frac{2}{\pi}\arctan\left(x\right)\\ G\left(q\right) & = & \tan\left(\frac{\pi}{2}q\right)\end{eqnarray*}
\[M\left(t\right)=\cos t+\frac{2}{\pi}\left[\mathrm{Si}\left(t\right)\cos t-\mathrm{Ci}\left(t\right)\sin t\right]\]
其中 \(\mathrm{Si}(t)=\int_0^t \frac{\sin x}{x} dx\)，\(\mathrm{Ci}(t)=-\int_t^\infty \frac{\cos x}{x} dx\).
\begin{eqnarray*} m_{d} & = & 0\\ m_{n} & = & \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\end{eqnarray*}
没有矩，因为积分发散。
\begin{eqnarray*} h\left[X\right] & = & \log\left(2\pi\right)\\ & \approx & 1.8378770664093454836.\end{eqnarray*}