HalfCauchy 分布#
如果 \(Z\) 是双曲正割分布，则 \(e^{Z}\) 是 Half-Cauchy 分布。 此外，如果 \(W\) 是（标准）柯西分布，则 \(\left|W\right|\) 是 Half-Cauchy 分布。 折叠柯西分布的特例，其中 \(c=0.\) 支持是 \(x\geq0\)。 标准形式是
\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & \frac{2}{\pi\left(1+x^{2}\right)} \\ F\left(x\right) & = & \frac{2}{\pi}\arctan\left(x\right)\\ G\left(q\right) & = & \tan\left(\frac{\pi}{2}q\right)\end{eqnarray*}
\[M\left(t\right)=\cos t+\frac{2}{\pi}\left[\mathrm{Si}\left(t\right)\cos t-\mathrm{Ci}\left(\mathrm{-}t\right)\sin t\right]\]
其中 \(\mathrm{Si}(t)=\int_0^t \frac{\sin x}{x} dx\), \(\mathrm{Ci}(t)=-\int_t^\infty \frac{\cos x}{x} dx\)。
\begin{eqnarray*} m_{d} & = & 0\\ m_{n} & = & \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\end{eqnarray*}
没有矩，因为积分发散。
\begin{eqnarray*} h\left[X\right] & = & \log\left(2\pi\right)\\ & \approx & 1.8378770664093454836.\end{eqnarray*}