广义正态分布#
这种分布也称为指数幂分布。它有一个形状参数 \(\beta>0\)。它简化为许多常见的分布。
函数#
\begin{eqnarray*} f\left(x; \beta\right) & = &\frac{\beta}{2\Gamma(1/\beta)} e^{-\left|x\right|^{\beta}} \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} F\left(x; \beta\right) & = & \frac{1}{2} + \mathrm{sgn}\left(x\right) \frac{\gamma\left(1/\beta, x^{\beta}\right)}{2\Gamma\left(1/\beta\right)} \end{eqnarray*}
\(\gamma\) 是下不完全伽马函数。 \(\gamma\left(s, x\right) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt\).
\begin{eqnarray*} h\left[X; \beta\right] = \frac{1}{\beta} - \log\left(\frac{\beta}{2\Gamma\left(1/\beta\right)}\right)\end{eqnarray*}
矩#
\begin{eqnarray*} \mu & = & 0 \\ m_{n} & = & 0 \\ m_{d} & = & 0 \\ \mu_2 & = & \frac{\Gamma\left(3/\beta\right)}{\gamma\left(1/\beta\right)} \\ \gamma_1 & = & 0 \\ \gamma_2 & = & \frac{\Gamma\left(5/\beta\right) \Gamma\left(1/\beta\right)}{\Gamma\left(3/\beta\right)^2} - 3 \\ \end{eqnarray*}
特殊情况#
拉普拉斯分布 (\(\beta = 1\))
正态分布，其中 \(\mu_2 = 1/2\) (\(\beta = 2\))
在区间 \([-1, 1]\) 上的均匀分布 (\(\beta \rightarrow \infty\))