Burr12 分布#
有两个形状参数 \(c,d > 0\)，支持范围为 \(x \in [0,\infty)\)。Burr12 分布也称为 Singh-Maddala 分布。
\begin{eqnarray*} f\left(x;c,d\right) & = & {cd} \frac{x^{c-1}} {\left(1+x^{c}\right)^{d+1}} \\ F\left(x;c,d\right) & = & 1 - \left(1+x^{c}\right)^{-d}\\ G\left(q;c,d\right) & = & \left((1-q)^{-1/d}-1\right)^{-1/c}\\ S\left(x;c,d\right) & = & \left(1+x^{c}\right)^{-d}\\ \mu & = & d \, B\left(d-\frac{1}{c}, 1+\frac{1}{c}\right)\\ \mu_{n} & = & d \, B\left(d-\frac{n}{c}, 1+\frac{n}{c}\right)\\ m_{d} & = & \left(\frac{c-1}{c d + 1}\right)^{1/c} \,\text{if }\quad c>1 \text{, otherwise }\quad 0\\ m_{n} & = & \left(2^{1/d}-1\right)^{-1/c} \end{eqnarray*}
其中 \(B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) 是 Beta 函数。