转换密度拒绝 (TDR)#
必需：T-凹 PDF，dPDF
可选：mode，center
速度
设置：慢
采样：快
TDR 是一种接受/拒绝方法，它利用转换密度的凹性来构造帽子函数并自动压缩。这种 PDF 被称为 T-凹。目前实现了以下转换
除了 PDF 之外，它还需要 PDF 相对于 x (即变量)的导数。这些函数必须作为 python 对象的方法存在，然后可以将其传递给生成器以实例化它们的对象。所实现的变体使用与帽子函数成比例的压缩([1])。
下面显示了使用此方法的一个示例
>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats.sampling import TransformedDensityRejection
>>> from scipy.stats import norm
>>>
>>> class StandardNormal:
... def pdf(self, x):
... # note that the normalization constant is not required
... return np.exp(-0.5 * x*x)
... def dpdf(self, x):
... return -x * np.exp(-0.5 * x*x)
...
>>> dist = StandardNormal()
>>>
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = TransformedDensityRejection(dist, random_state=urng)
>>> rng.rvs()
-1.526829048388144
在上面的例子中，我们使用了 TDR 方法从标准正态分布中采样。请注意，在计算 PDF 时我们可以省略归一化常数。这通常有助于加速采样阶段。另请注意，PDF 不需要矢量化。它应该接受并返回一个标量。
也可以使用 ppf_hat 方法直接评估帽子分布的 CDF 的逆函数。
>>> rng.ppf_hat(0.5)
-0.00018050266342362759
>>> norm.ppf(0.5)
0.0
>>> u = np.linspace(0, 1, num=10)
>>> rng.ppf_hat(u)
array([ -inf, -1.22227372, -0.7656556 , -0.43135731, -0.14002921,
0.13966423, 0.43096141, 0.76517113, 1.22185606, inf])
>>> norm.ppf(u)
array([ -inf, -1.22064035, -0.76470967, -0.4307273 , -0.1397103 ,
0.1397103 , 0.4307273 , 0.76470967, 1.22064035, inf])
除了 PPF 方法外，还可以访问其他属性，以查看生成器与给定分布的拟合程度。这些是
‘squeeze_hat_ratio’：生成器的（挤压线以下面积）/（帽子线以下面积）。它是一个介于 0 和 1 之间的数字。越接近 1 意味着帽子和挤压函数紧密地包围着分布，并且生成样本需要较少的 PDF 评估。密度评估的预期次数以每个样本的
(1/squeeze_hat_ratio) - 1为界。默认情况下，它保持在 0.99 以上，但可以通过传递max_squeeze_hat_ratio参数来更改。‘hat_area’：生成器的帽子函数以下的面积。
‘squeeze_area’：生成器的挤压函数以下的面积。
>>> rng.squeeze_hat_ratio 0.9947024204884917 >>> rng.hat_area 2.510253139791547 >>> rng.squeeze_area 2.4969548741894876 >>> rng.squeeze_hat_ratio == rng.squeeze_area / rng.hat_area True
可以通过传递域参数来截断分布
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = TransformedDensityRejection(dist, domain=[0, 1], random_state=urng)
>>> rng.rvs(10)
array([0.05452512, 0.97251362, 0.49955877, 0.82789729, 0.33048885,
0.55558548, 0.23168323, 0.13423275, 0.73176575, 0.35739799])
如果未指定域，则使用 dist 对象的 support 方法来确定域
>>> class StandardNormal:
... def pdf(self, x):
... return np.exp(-0.5 * x*x)
... def dpdf(self, x):
... return -x * np.exp(-0.5 * x*x)
... def support(self):
... return -np.inf, np.inf
...
>>> dist = StandardNormal()
>>>
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = TransformedDensityRejection(dist, random_state=urng)
>>> rng.rvs(10)
array([-1.52682905, 2.06206883, 0.15205036, 1.11587367, -0.30775562,
0.29879802, -0.61858268, -1.01049115, 0.78853694, -0.23060766])
如果 dist 对象不提供 support 方法，则假定域为 (-np.inf, np.inf)。
要增加 squeeze_hat_ratio，请传递 max_squeeze_hat_ratio
>>> dist = StandardNormal()
>>> rng = TransformedDensityRejection(dist, max_squeeze_hat_ratio=0.999,
... random_state=urng)
>>> rng.squeeze_hat_ratio
0.999364900465214
让我们看看这如何影响对分布的 PDF 方法的回调
>>> from copy import copy
>>> class StandardNormal:
... def __init__(self):
... self.callbacks = 0
... def pdf(self, x):
... self.callbacks += 1
... return np.exp(-0.5 * x*x)
... def dpdf(self, x):
... return -x * np.exp(-0.5 * x*x)
...
>>> dist1 = StandardNormal()
>>> urng1 = np.random.default_rng()
>>> urng2 = copy(urng1)
>>> rng1 = TransformedDensityRejection(dist1, random_state=urng1)
>>> dist1.callbacks # evaluations during setup
139
>>> dist1.callbacks = 0 # don't consider evaluations during setup
>>> rvs = rng1.rvs(100000)
>>> dist1.callbacks # evaluations during sampling
527
>>> dist2 = StandardNormal()
>>> # use the same stream of uniform random numbers
>>> rng2 = TransformedDensityRejection(dist2, max_squeeze_hat_ratio=0.999,
... random_state=urng2)
>>> dist2.callbacks # evaluations during setup
467
>>> dist2.callbacks = 0 # don't consider evaluations during setup
>>> rvs = rng2.rvs(100000)
>>> dist2.callbacks # evaluations during sampling
84 # may vary
正如我们所看到的，当我们增加 squeeze_hat_ratio 时，采样期间所需的 PDF 评估次数要少得多。PPF-帽子函数也更准确
>>> abs(norm.ppf(0.975) - rng1.ppf_hat(0.975))
0.0027054565421578136
>>> abs(norm.ppf(0.975) - rng2.ppf_hat(0.975))
0.00047824084476300044
但是，请注意，这会在设置期间增加 PDF 评估的成本。
对于模式不接近 0 的密度，建议通过传递 mode 或 center 参数来设置分布的模式或中心。后者是分布的模式或平均值的近似位置。此位置提供有关 PDF 主要部分的一些信息，并用于避免数值问题。
>>> # mode = 0 for our distribution
>>> # if exact mode is not available, pass 'center' parameter instead
>>> rng = TransformedDensityRejection(dist, mode=0.)
默认情况下，该方法使用 30 个构造点来构造帽子。这可以通过传递 construction_points 参数来更改，该参数可以是构造点的数组，也可以是表示要使用的构造点数量的整数。
>>> rng = TransformedDensityRejection(dist,
... construction_points=[-5, 0, 5])
此方法接受许多其他设置参数。有关独占列表，请参阅文档。有关参数和该方法的更多信息，请参阅 UNU.RAN 用户手册的第 5.3.16 节。