疲劳寿命（Birnbaum-Saunders）分布#
该分布的 pdf 是逆高斯 \(\left(\mu=1\right)\) 和倒数逆高斯 pdf \(\left(\mu=1\right)\) 的平均值。我们遵循 JKB 的符号，其中 \(\beta=S.\) 它有一个形状参数 \(c>0\)，支持范围为 \(x\geq0\)。
\begin{eqnarray*} f\left(x;c\right) & = & \frac{x+1}{2c\sqrt{2\pi x^{3}}}\exp\left(-\frac{\left(x-1\right)^{2}}{2xc^{2}}\right)\\ F\left(x;c\right) & = & \Phi\left(\frac{1}{c}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)\\ G\left(q;c\right) & = & \frac{1}{4}\left[c\Phi^{-1}\left(q\right)+\sqrt{c^{2}\left(\Phi^{-1}\left(q\right)\right)^{2}+4}\right]^{2}\end{eqnarray*}
\[M\left(t\right)=c\sqrt{2\pi}\exp\left(\frac{1}{c^{2}}\left(1-\sqrt{1-2c^{2}t}\right)\right) \left(1+\frac{1}{\sqrt{1-2c^{2}t}}\right)\]
\begin{eqnarray*} \mu & = & \frac{c^{2}}{2}+1\\ \mu_{2} & = & c^{2}\left(\frac{5}{4}c^{2}+1\right)\\ \gamma_{1} & = & \frac{4c\sqrt{11c^{2}+6}}{\left(5c^{2}+4\right)^{3/2}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{6c^{2}\left(93c^{2}+41\right)}{\left(5c^{2}+4\right)^{2}}\end{eqnarray*}